Пример питања и дискусија о примени интеграла у израчунавању површине равне равни
У настави математике, интеграли се често срећу у рачуну. Једна од најпознатијих примена интеграла је израчунавање површине испод криве или равни. Овај чланак ће размотрити неколико примера проблема и размотрити примену интеграла на израчунавање површине равни.
Увод у теорију
Пре него што пређемо на пример проблема, хајде да прегледамо основни концепт израчунавања површине испод криве помоћу интеграла. Ако имамо функцију f(x) која је непрекидна на интервалу [a, b], онда је површина испод криве y = f(x) од x = a до x = b:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геометријски, то значи да сабирамо површину веома танког правоугаоника од x = a до x = b.
Пример питања 1
Соал
Израчунајте површину испод криве y = x² у интервалу [1, 3].
Пембахасан
Да бисмо израчунали површину, користимо интеграл:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Почињемо проналажењем антидеривата од \( x^2 \). Антидериват од \( x^2 \) је \( \frac{x^3}{3} \). Тада интеграл постаје:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Запамтите да морамо израчунати антидеривативну функцију на лимесима интеграла:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Дакле, површина испод криве y = x² од x = 1 до x = 3 је:
\[ \frac{26}{3} \, \text{јединица површине} \]
Пример питања 2
Соал
Одредити површину области ограничене кривом y = x³ и линијама x = 1 и x = 2.
Пембахасан
Да бисмо израчунали површину, користимо интеграл:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Као и обично, почињемо проналажењем антидеривата од \( x^3 \). Антидериват од \( x^3 \) је \( \frac{x^4}{4} \). Интеграл постаје:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Израчунајте лимесе интеграла:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Дакле, површина испод криве y = x³ од x = 1 до x = 2 је:
\[ \frac{15}{4} \, \text{јединица површине} \]
Пример питања 3
Соал
Одредити површину области ограничене кривама y = x² + 1 и y = 2x + 2 у интервалу од x = 0 до x = 1.
Пембахасан
Прво, треба да пронађемо тачке пресека да бисмо одредили границе интеграције. Решење за \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Користећи квадратну формулу:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Међутим, за горњу и доњу границу између 0 и 1, не морамо користити квадратно решење, већ само обичну интегралну границу од 0 до 1. Затим, израчунајте површину горње y криве минус доња y крива према овим границама:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Поједностављење функције:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Затим, налазимо антидериватив:
Антидеривативна функција од \( (-x^2) \) је \( -\frac{x^3}{3} \),
Антидеривативна функција \( (2x) \) је \( x^2 \),
Антидеривативна функција \( (1) \) је \( x \).
тако да,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Следећа евалуација:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Дакле, површина региона ограничена кривама y = x² + 1 и y = 2x + 2 на интервалу [0, 1] је:
\[ \frac{5}{3} \, \text{јединица површине} \]
-
Из горњих примера можемо видети како се интеграли могу користити за израчунавање површине испод криве или између две криве. Уз правилно разумевање основних концепата интеграла и антидеривативних техника, израчунавање ових површина постаје веома систематично и ефикасно. Надамо се да је овај чланак проширио наше разумевање примене интеграла у стварном свету, посебно у области мерења површине равних површина.
