Примери питања о круговима и тангентама
Кругови су важна тема у матричној геометрији, где се демонстрирају дубоки концепти о растојању, угловима и облику. Један концепт који се често помиње у овој теми је тангентна линија на круг. У овом чланку ћемо размотрити неколико примера проблема који укључују кругове и тангенте.
Основно разумевање кругова и тангенти
Лингкаран
Круг је геометријски облик формиран скупом свих тачака у равни које су на фиксној удаљености од дате тачке која се назива центар круга. Ова фиксна удаљеност се назива полупречник круга.
Тангента
Тангента на круг је линија која додирује круг у тачно једној тачки. Ова тачка се назива тачка додира. Тангенте имају неколико важних својстава, укључујући:
– Тангентна линија је увек нормална на полупречник круга у тачки додира.
– Дужина тангенте од тачке ван круга до круга је иста ако су из те тачке повучене две тангенте.
Пример питања и дискусија
У наставку ћемо представити неколико примерних питања која детаљно разматрају концепт кругова и тангенти.
Пример питања 1: Одређивање дужине тангентне линије
Питање:
Дат је круг са центром \(O\) и полупречником \(r = 6 \, \text{cm}\). Из тачке \(P\) изван круга, која је удаљена 10 cm од центра круга, повучене су две тангенте \(PA\) и \(PB\) на круг. Израчунајте дужину тангенте \(PA\).
пембахасан:
У овом задатку можемо користити Питагорину теорему. Нацртајте троугао \(\троугао OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (растојање од спољашње тачке до центра круга)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (полупречник круга)
– \(PA\) је тангентна линија коју треба пронаћи
\[
ОП^2 = ОА^2 + ПА^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + ПА^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Дакле, дужина тангентне линије \(PA\) је 8 cm.
Пример питања 2: Проналажење тачке додира
Питање:
Дат је круг са једначином \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) и права \(y = 2x + 1\). Одредити тачку додира између круга и праве.
пембахасан:
Прво, идентификујемо центар и полупречник круга:
– Центар \(O(3, 4)\)
– Полупречник \(r = \sqrt{25} = 5\)
Да бисмо пронашли тачку додира, претпоставимо да је тачка додира \(T(x_1, y_1)\) која такође лежи на правој \(y = 2x + 1\). Тада:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) такође мора да задовољи једначину круга:
\[
(к_1 – 3)^2 + (и_1 – 4)^2 = 25
\]
Унесите \(y_1 = 2x_1 + 1\) у једначину круга:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Морамо израчунати два квадрата.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Спојите оба резултата:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Одузмите 25 од обе стране:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Решите квадратну једначину:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \пута 5 \пута 7}}{2 \пута 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = 18 пм² 116 10
\]
\[
x_1 = 18 пм² 4 пута 29 10
\]
\[
x_1 = 18 пм² 29 10
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Израчунај вредност \(y_1\):
Што задовољава y = 2x + 1:
– Ако је \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), онда је \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ако је \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), онда је \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Евалуација:
Дакле, добијамо две тачке пресека једначине круга са том правом.
Пример питања 3: Одређивање једначине тангентне линије
Питање:
Дат је круг са једначином \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Одредити једначину тангенте круга која пролази кроз тачку \((6, 7)\).
пембахасан:
Тангента на круг са центром (h, k) и полупречником (r) из познате спољашње тачке може се наћи једначином:
Тангентна линија кроз спољашњу тачку \((x_1, y_1)\):
\[
(к – 2)(к_1 – 2) + (и – 3)(и_1 – 3) = 20
\]
Замените спољашњу тачку \((6, 7)\):
\[
(к – 2)(6 – 2) + (и – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
к + и = 5
\]
Једначина тангентне линије је:
\[
к + и = 9
\]
Дакле, варијација једначине праве кроз тачку кружне линије је веома велика и може се мењати у зависности од резултата или визуелног приказа.
Закључак
Дискусија о круговима и тангентама покрива неколико фундаменталних аспеката математике, од примене основних формула попут Питагорине теореме до решавања квадратних једначина. Кроз ове примере можемо боље разумети како применити ове концепте у донекле сложеним ситуацијама. Надамо се да је овај чланак помогао да се пружи јасна слика о томе како приступити и решити проблеме који укључују кругове и тангенте.
