Пример питања о композицији трансформације коришћењем матрица
Геометријске трансформације су важна тема у математици, посебно у геометрији и линеарној алгебри. Ове трансформације могу укључивати транслације, ротације, рефлексије и дилатације. У овом чланку ћемо испитати како се композиција различитих трансформација може представити и решити помоћу матрица. Такође ћемо дати примере проблема и решења.
1. Увод у трансформацију помоћу матрица
Геометријске трансформације могу бити представљене матрицама. На пример, трансформације ротације, транслације, рефлексије и дилатације могу бити формулисане у матричном облику на следећи начин:
1. Превод
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Ротација
\[
R(θ) = \begin{pmatrix} \cos\θ & -\sin\θ \\ \sin\θ & \cos\θ \end{pmatrix}
\]
3. Рефлексија око X-осе
\[
\text{Рефлексија X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Дилатација (увећање/скалирање)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Композиција трансформација помоћу матрица
Композиција трансформације је секвенцијална примена две или више трансформација на објекат. Да бисмо израчунали композицију трансформације помоћу матрица, једноставно множимо матрице које представљају трансформације.
Цонтох Соал и Пембахасан
Соал
Дата је тачка P(2, 3), пронађите резултат следеће трансформације:
1. Ротација \(90^\circ\) у смеру казаљке на сату (CW)
2. Дилатација са фактором скалирања од 2
3. Превод (1, -2)
Пембахасан
1. Ротација \(90^\circ\) у смеру часова
Матрица за ротацију у смеру казаљке на сату за \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Примена ротационе трансформације на тачку P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Тачка P након ротационе трансформације је P'(3, -2).
2. Дилатација са фактором скалирања од 2
Матрица за дилатацију са фактором скалирања 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Примена дилатационе трансформације у тачки P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Тачка P' након дилатационе трансформације је P”(6, -4).
3. Превод (1, -2)
Следеће су дате операције превођења:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Примена транслационе трансформације у тачки P”(6, -4):
\[
Т(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Дакле, крајња тачка након примене свих трансформација је P(7, -6).
3. Израчунавање састава трансформације
Додатна питања
Дата је тачка Q(1, 2) и следећа трансформација:
1. Рефлексија око X-осе.
2. Ротација \(180^\circ\) у смеру казаљке на сату (CW).
Пембахасан
1. Рефлексија око X-осе
Матрица рефлексије око X-осе:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Примена рефлексне трансформације у тачки Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Тачка Q након рефлексивне трансформације је Q'(1, -2).
2. Ротација \(180^\circ\) у смеру часова
Матрица за ротацију \(180^\circ\) у смеру казаљке на сату:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Примена ротационе трансформације \(180^\circ\) на тачку Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Дакле, крајња тачка након примене свих трансформација је Q(-1, 2).
Пенутуп
Метода композиције трансформација коришћењем матрица је веома корисна за поједностављивање и систематско израчунавање геометријских трансформација. Пратећи горе наведене кораке, можемо лако разумети и применити различите врсте трансформација на једну тачку или други геометријски објекат. Учење коришћења матрица у трансформацијама такође олакшава њихову примену у различитим областима као што су физика, рачунарска графика и друге.
