Пример питања о положају тачке у односу на круг
Одређивање положаја тачке у односу на круг је важна тема у основној геометрији, посебно у проучавању кругова. У овом чланку ћемо размотрити неколико примера проблема који укључују положај тачке у односу на круг, заједно са њиховим објашњењима. Ово ће помоћи да се разјасни концепт кроз практичне примене.
Пендахулуан
Пре него што се упустимо у примере питања, подсетимо се три могућа положаја тачке на кругу:
1. Унутар круга: Ако је растојање тачке до центра круга мање од полупречника круга.
2. Ван круга: Ако је растојање тачке до центра круга веће од полупречника круга.
3. На кругу: Ако је растојање од тачке до центра круга исто као и полупречник круга.
Математички, положај тачке \(T(x_1, y_1)\) у односу на круг са центром у \((a, b)\) и полупречником \(r\) може се одредити упоређивањем \(T(x_1, y_1)\) са једначином круга, наиме:
\[
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2
\]
Ако резултат замене \(x_1\) и \(y_1\) у једначини даје вредност:
– Мања од \(r^2\), тачка је унутар круга.
– Веће од \(r^2\), тачка је ван круга.
– Исто као и \(r^2\), тачка је на кругу.
Цонтох Соал и Пембахасан
Питање 1
Одредити положај тачке \(T(3, 4)\) у односу на круг помоћу једначине \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \).
пембахасан:
Први корак је израчунати једначину круга и пронаћи растојање од тачке \(T(3, 4)\) до центра круга \((1, 2)\).
1. Одредити центар и полупречник круга:
Једначина круга: \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25 \)
– Центар круга (\(a, b\)): (1, 2)
– Полупречник круга (r): 25 = 5
2. Израчунајте растојање између тачке \(T(3, 4)\) и центра круга \( (1, 2) \):
\[
Д = \скрт{(3 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \скрт{2^2 + 2^2} = \скрт{4 + 4} = \скрт{8} = 2\скрт{2}
\]
Вредност (2\sqrt{2} \approx 2 \puts 1.414 = 2.828 \) (мање од \(5\)).
3. Закључак:
Пошто је \( 2\sqrt{2} < 5 \), онда је тачка \( T(3, 4) \) унутар круга. Питање 2 Круг има центар у тачки \( (0, 0) \) и полупречник 7. Одредити положај тачке \(P(5, 6)\) у односу на круг.
Питање 3
Одредити положај тачке \(M(2, -1)\) у односу на круг помоћу једначине \(x^2 + y^2 = 5 \).
пембахасан:
1. Израчунајте растојање од тачке \(M(2, -1)\) до центра круга \( (0, 0) :
\[
Д = \скрт{(2 – 0)^2 + (-1 – 0)^2} = \скрт{4 + 1} = \скрт{5}
\]
2. Упоредите растојање \(D\) са полупречником круга:
Полупречник круга (r) = 5.
3. Закључак:
Пошто је \( \sqrt{5} = \sqrt{5} \), онда је тачка \( M(2, -1) \) на кругу.
Питање 4
Круг са центром у тачки (4, 3) има полупречник (10). Прикажите положај тачке (N(7, 7)) у односу на овај круг.
пембахасан:
1. Кружна једначина:
Једначина круга са центром \( (4, 3) \) и полупречником \( \sqrt{10} \) је:
\[
(к – 4)^2 + (и – 3)^2 = 10
\]
2. Израчунајте растојање од тачке \( N(7, 7) \) до центра круга \( (4, 3) \):
\[
Д = \скрт{(7 – 4)^2 + (7 – 3)^2} = \скрт{3^2 + 4^2} = \скрт{9 + 16} = \скрт{25} = 5
\]
3. Закључак:
Пошто је \( 5 > \sqrt{10} \), онда је тачка \( N(7, 7) \) ван круга.
Пенутуп
Разумевањем како се израчунава растојање тачке од центра круга и упоређујући га са полупречником, лако можемо одредити положај тачке у односу на круг. Очекује се да ће дискусија у овом чланку пружити јасно разумевање концепта и начина решавања проблема који укључују положај тачке у односу на круг.
У пракси, познавање положаја ових тачака је изузетно корисно у разним математичким применама, укључујући геометријску анализу, графички дизајн и инжењерство. Стога је савладавање овог концепта важна основа која заслужује пажљиву пажњу и дубинско разумевање.
