Пример питања и дискусија о расподели вероватноће
Расподела вероватноће је један од основних концепата у статистици и вероватноћи. Користи се за разумевање вероватноће појављивања различитих вредности случајног броја. Расподеле вероватноће могу имати много облика у зависности од природе података који се анализирају. Два најчешћа типа расподела вероватноће су дискретне и континуиране. У овом чланку ћемо размотрити неколико примера проблема и разговарати о расподелама вероватноће како бисмо боље разумели ову тему.
Дискретна дистрибуција
Дискретна расподела је расподела која израчунава вероватноћу дискретне случајне променљиве, односно променљиве која може да поприми само одређене вредности. Познати примери дискретних расподела су биномна расподела и Поасонова расподела.
Пример 1: Биномна расподела
Биномна расподела описује број успеха у низу Бернулијевих покушаја. Сваки Бернулијев покушај има два исхода: успех или неуспех. Вероватноћа успеха остаје константна током целог покушаја.
Питање:
Фармацеутска компанија тестира нови лек на 10 пацијената. Вероватноћа да лек делује код било ког пацијента је 0.7. Израчунајте вероватноћу да лек делује код тачно 7 од 10 пацијената.
пембахасан:
Случајна променљива \(X\) прати биномну расподелу са \(n = 10\) и \(p = 0.7\). Биномна функција вероватноће је:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
За \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Израчунавање биномског коефицијента \(\binom{10}{7}\):
\[ \бином{10}{7} = \фрац{10!}{7!(10-7)!} = \фрац{10!}{7!3!} = 120 \]
Израчунавање вредности вероватноће:
\[ P(X = 7) = 120 \пута (0.7)^7 \пута (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \приближно 120 \пута 0.0823543 \пута 0.027 \]
\[ P(X = 7) \приближно 0.231 \]
Дакле, вероватноћа да лек делује код тачно 7 од 10 пацијената је око 0.231 или 23.1%.
Пример 2: Поасонова расподела
Поасонова расподела се користи за моделирање броја појављивања ретког догађаја у датом временском или просторном интервалу.
Питање:
Продавница у просеку има 4 муштерије на сат. Колика је вероватноћа да ће продавница добити тачно 5 муштерија за један сат?
пембахасан:
Случајна променљива \(X\) прати Поасонову расподелу са параметром \(\lambda = 4\). Поасонова функција вероватноће масе је:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
За \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Број:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \приближно 0.156 \]
Дакле, вероватноћа да продавница прими тачно 5 купаца у једном сату је око 0.156, или 15.6%.
Континуирана дистрибуција
Континуиране расподеле се користе када случајна променљива која се мери може да узме било коју вредност унутар одређеног опсега. Познати примери континуираних расподела су нормална расподела и експоненцијална расподела.
Пример 3: Нормална расподела
Нормална расподела, често називана Гаусова расподела, је расподела која се често користи у разним областима, укључујући науку, инжењерство и економију.
Питање:
Висина одраслих мушкараца у граду је нормално распоређена са средњом вредношћу од 170 цм и стандардном девијацијом од 10 цм. Колика је вероватноћа да је насумично изабран мушкарац висок између 160 цм и 180 цм?
пембахасан:
Потребно је да израчунамо z-скор за 160 цм и 180 цм. Z-скор је дефинисан као:
\[ З = \фрац{Кс – \му}{\сигма} \]
За \(X = 160\):
\[ З_{160} = \фрац{160 – 170}{10} = -1 \]
За \(X = 180\):
\[ З_{180} = \фрац{180 – 170}{10} = 1 \]
Сада треба да погледамо вредности вероватноће од -1 до 1 у z табели. Вредност од z = -1 до z = 1 је приближно 0.6826.
Дакле, вероватноћа да је насумично изабрани мушкарац висок између 160 цм и 180 цм је приближно 0.6826 или 68.26%.
Пример 4: Експоненцијална расподела
Експоненцијална расподела се користи за моделирање времена између догађаја у Поасоновом процесу.
Питање:
Просечно време између доласка два купца у продавницу је 15 минута. Колика је вероватноћа да је време између доласка два купца мање од 10 минута?
пембахасан:
Експоненцијална расподела има параметар \(\lambda\) који је инверзан од средње вредности (\(\mu\)). Са средњом вредношћу од 15 минута:
\[ λ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Експоненцијална кумулативна функција расподеле је:
P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambda x}
За \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 пута 10}]
\[ P(X ≥ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≥ 10) \приближно 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≥ 10) \приближно 0.4866 \]
Дакле, вероватноћа да је време између доласка два купца мање од 10 минута је око 0.4866 или 48.66%.
Закључак
Расподеле вероватноће, и дискретне и континуиране, су веома корисни концепти за моделирање и разумевање понашања случајних променљивих. Биномна и Поасонова расподела се често користе за дискретне променљиве, док су нормална и експоненцијална расподела примери континуираних расподела.
Надамо се да сте кроз горе наведене примере стекли боље разумевање како се израчунавају и тумаче вероватноће у расподелама вероватноће. Уз доследну праксу, ваша способност разумевања расподела вероватноће ће се побољшати и моћи ће се применити у различитим дисциплинама.
