Пример питања и дискусија о биномној расподели
Биномна расподела је једна од најчешће коришћених дискретних расподела вероватноће. Корисна је за моделирање броја успеха у више идентичних, независних покушаја, од којих сваки производи или успех или неуспех. У овом чланку ћемо дубље истражити биномну расподелу пружајући неколико примера и детаљну дискусију.
Увод у биномну расподелу
Главне карактеристике биномне расподеле:
1. n: Број покушаја или понављања.
2. p: Вероватноћа успеха у сваком покушају.
3. q = 1-p : Вероватноћа неуспеха у сваком покушају.
Функција масе вероватноће биномне расподеле је:
\[ P(X = k) = {n \изаберите k} p^k (1-p)^{nk} \]
Где:
– \( {n \изаберите k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Случајна променљива која представља број успеха.
– \( k \): Број тражених успеха.
Цонтох Соал и Пембахасан
Почнимо са неким примерима проблема како бисмо детаљније разумели концепт биномне расподеле.
Пример 1: Избор из групе ученика
На пример, претпоставимо да имамо групу од 10 ученика и да је вероватноћа да ће сваки ученик бити изабран да учествује у такмичењу 0,3. Желимо да знамо вероватноћу да ће бити изабрано тачно 4 ученика.
Корак 1: Идентификујте параметре биномне расподеле.
– \(n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Корак 2: Користите биномну расподелу да бисте израчунали вероватноћу \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \изаберите 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Израчунавање \( {10 \изаберите 4} \):
\[ {10 \изаберите 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Сада израчунајте \( (0.3)^4 \) и \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Тако,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
Дакле, вероватноћа да ће бити изабрано тачно 4 студента је приближно 0.20012 или 20.012%.
Пример 2: Вероватноћа мања или једнака 2
Сада, на пример, питају нас о вероватноћи да ће бити изабрано мање од или једнако 2 студента.
Корак 1: Морамо израчунати \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) и \( P(X = 2) \).
– За \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \изаберите 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \изаберите 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– За \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \изаберите 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \изаберите 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– За \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \изаберите 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \изаберите 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Корак 2: Саберите вероватноће.
\[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Дакле, вероватноћа да је изабрано мање од или једнако 2 студента је приближно 0.7740671 или 77.41%.
Пример 3: Вероватноћа од најмање 8
Ако се експеримент изведе 12 пута, а вероватноћа успеха у сваком покушају је 0.5, колика је вероватноћа да се догоди најмање 8 успеха?
Корак 1: Подесите биномске параметре: \( n = 12, p = 0.5 \).
Корак 2: Пронађите вероватноћу за \( X \geq 8 \).
Ово захтева израчунавање неколико појединачних вероватноћа и њихово сабирање:
\[ П(Кс \гек 8) = П(Кс = 8) + П(Кс = 9) + П(Кс = 10) + П(Кс = 11) + П(Кс = 12) \]
Бројите један по један:
– За \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \изаберите 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \изаберите 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– За \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \изаберите 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \изаберите 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– За \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \изаберите 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \изаберите 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– За \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \изаберите 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \изаберите 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– За \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \изаберите 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \изаберите 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Корак 3: Додајте све вероватноће.
\[ P(X √8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \приближно 0.1938477 \]
Дакле, вероватноћа да се у 12 покушаја догоди најмање 8 успеха је приближно 0.1938477 или 19.38%.
Закључак
Биномна расподела је фундаментални концепт у статистици који је кључан у многим практичним применама. Разумевањем како се израчунавају вероватноће за различите случајеве биномне расподеле, као што је приказано у горњим примерима, можемо применити овај концепт у стварним ситуацијама. Ова вежба такође појачава наше разумевање како структуре вероватноће функционишу у јасном и организованом контексту.
