Пример питања и дискусија о ланчаном правилу у изводима
Ланачно правило је један од најосновнијих концепата у диференцијалном рачуну, који се користи за израчунавање извода функције састављене од две или више функција. У овом чланку ћемо размотрити основни концепт ланчаног правила, како се користи и примере његове употребе у проблемима извода који се често јављају и у средњој школи и на факултету.
1. Увод у правило ланца
Пре него што се упустимо у пример проблема, хајде прво да разумемо шта је ланчано правило. Ланчано правило каже да ако имамо две диференцијабилне функције \( f \) и \( g \), и желимо да пронађемо извод композиције функција \( h = f(g(x)) \), онда је извод \( h \) :
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Једноставно речено, израчунавамо извод спољашње функције на g(x), а затим резултат множимо изводом унутрашње функције (g(x)).
2. Разумевање функције композиције
Пре него што се упустимо у примере проблема, важно је разумети композиционе функције. Композициона функција је функција добијена уметањем једне функције у другу. На пример, ако имамо \( f(x) = \sin(x) \) и \( g(x) = x^2 \), онда ће композиција две функције бити \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
Код композиционих функција, често сматрамо \( g(x) \) „унутрашњом функцијом“ и \( f(x) \) „спољашњом функцијом“. У овом примеру, унутрашња функција је \( x^2 \), а спољашња функција је синус.
3. Пример питања и дискусија
Погледајмо неке примере проблема који користе правило ланца за решавање.
Пример 1:
Дата је функција \( y = \cos(3x^2) \), пронађите први извод функције y у односу на x.
пембахасан:
Прво, идентификујемо унутрашњу и спољашњу функцију. Овде је унутрашња функција \( g(x) = 3x^2 \), а спољашња функција је \( f(g) = \cos(g) \).
Ми знамо:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Правилом ланца добијамо:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Дакле, извод од \( y = \cos(3x^2) \) је:
\[y' = -6x \sin(3x^2) \]
Пример 2:
Наћи први извод функције \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
пембахасан:
Овде је унутрашња функција \( g(x) = 5x^3 + 2x \) и спољашња функција је \( f(g) = e^g \).
Ми знамо:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Правилом ланца добијамо:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Дакле, извод од \( h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) је:
\[ х'(к) = (15к^2 + 2)е^{5к^3 + 2к} \]
Пример 3:
Наћи први извод од \(y = \ln(4x^2 – 5) \).
пембахасан:
Унутрашња функција је \( g(x) = 4x^2 – 5 \), а спољашња функција је \( f(g) = \ln(g) \).
Ми знамо:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Правилом ланца добијамо:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Дакле, извод од \(y = \ln(4x^2 – 5) \) је:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Пример 4:
Дата је функција \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \), пронађите њен извод.
пембахасан:
Унутрашња функција је \( g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) а спољашња функција је \( f(g) = g^4 \).
Ми знамо:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Правилом ланца добијамо:
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Дакле, извод од \( y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) је:
\[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Специјални случајеви и развој ланчаних правила
Понекад се правило ланца не зауставља на композицији само две функције. Постоје случајеви када је функција композиција више од две функције, на пример: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
За случај три функције, правило ланца се може применити у слојевима:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Можемо видети да у сваком слоју израчунавамо изводе спољашњих слојева пре него што пређемо на изводе унутрашњих слојева.
Пример 5:
Дато је y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)}, пронађите његов извод.
пембахасан:
Најдубља функција је \( k = 2x^2 + 1 \), средња: \( g = \ln(k) \) и спољашња: \( f = \sqrt{g} \).
Ми знамо:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Применимо правило ланца у слојевима:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Дакле, извод од \( y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) је:
\[y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Кесимпулан
Ланачно правило игра виталну улогу у диференцијалном рачуну, посебно када се ради о композицији функција. Разумевање и савладавање ланчаног правила пружа солидну основу за решавање сложенијих проблема у рачуну. Овај чланак је размотрио неколико важних примера како би се пружило солидно разумевање примене ланчаног правила на изводе. Надамо се да је ова дискусија корисна за студенте и да се може применити на разне изазовне математичке ситуације.
