Lëvizja rrotulluese - problemet dhe zgjidhjet

Lëvizja rrotulluese - problemet dhe zgjidhjet

Çift rrotullues

1. Një tra me gjatësi 140 cm. Në tra vepron tre forca, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N dhe F3 ₌ 40 N me drejtim dhe pozicion siç tregohet në figurën më poshtë. Cili është momenti rrotullues që bën që trau të rrotullohet rreth qendrës së masës së tij?

I njohur:

Qendra e masës ndodhet në qendër të rrezes.

Gjatësia e trarit (l) = 140 cm = 1.4 metra

Forca 1 (F1 ₎ = 20 N, krahu i levës 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Forca 2 (F2 ₎ = 10 N, krahu i levës 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metra

Forca 3 (F3 ₎ = 40 N, krahu i levës 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metra

Kërkohet: Madhësia e çift rrotullues

zgjidhje:

Momenti rrotullues 1 e rrotullon rrezen në drejtim të akrepave të orës, kështu që momentit rrotullues 1 i është caktuar një shenjë negative.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m) = -14 _N m

Momenti rrotullues 2 e rrotullon rrezen në kah të kundërt të akrepave të orës, duke i caktuar kështu një shenjë pozitive momentit rrotullues 2.

τ2 = F2l2 ₌ ( 10N ₎ (0.3m) = _3Nm

Momenti rrotullues 3 rrotullohet rrezen në drejtim të akrepave të orës, kështu që momentit rrotullues 3 i është caktuar një shenjë pozitive.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 N m

Çift rrotullues neto:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Madhësia e momentit rrotullues është 39 N m. Drejtimi i rrotullimit të rrezes në drejtim të akrepave të orës, prandaj i është caktuar një shenjë negative.

2. Cili është momenti rrotullues neto që vepron në tra. Boshti i rrotullimit në pikën D. (sin 53 ^o = 0.8)

I njohur:

Boshti i rrotullimit në pikën D

F ₁ = 10 N dhe l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metra

F ₂ = 10√2 N dhe l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metra

F ₃ = 20 N dhe l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metra

Kërkohet: Çift rrotullues neto

zgjidhje:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N) (0.32 m) = 3.2 Nm

(Momenti rrotullues 1 e rrotullon rrezen në kah të kundërt të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë pozitive momentit rrotullues 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Momenti rrotullues 2 e rrotullon rrezen në drejtim të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë negative momentit rrotullues 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N) (0.1 m) = 2 Nm

(Momenti rrotullues 3 e rrotullon rrezen në kah të kundërt të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë pozitive momentit rrotullues 3)

Çift rrotullues neto:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Cili është momenti rrotullues neto nëse boshti i rrotullimit është në pikën D. (sin 53 ^o = 0.8)

I njohur:

Boshti i rrotullimit në pikën D.

Distanca midis F1 _dhe boshtit të rrotullimit (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Distanca midis F2 _dhe boshtit të rrotullimit (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Distanca midis F3 _dhe boshtit të rrotullimit (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Njuton

F2 = _10√2 Njuton

F3 = ₂₀ Njuton

Sin 53 ^o = 0.8

Kërkohet: Çift rrotullues neto

zgjidhje:

Momenti i forcës 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Momenti rrotullues 1 e rrotullon rrezen në kah të kundërt të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë pozitive momentit rrotullues 1)

Momenti i forcës 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Momenti rrotullues 2 e rrotullon rrezen në drejtim të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë negative momentit rrotullues 2)

Momenti i forcës 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Momenti rrotullues 2 e rrotullon rrezen në kah të kundërt të akrepave të orës, kështu që ne i caktojmë shenjë pozitive momentit rrotullues 3)

Çift rrotullues neto:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Njuton metra

Momenti i inercisë

4. Gjatësia e telit = 12 m, l ₁ = 4 m. Injoroni masën e telit. Cili është momenti i inercisë së sistemit?

I njohur:

Masa e A-së (mA ₎ = 0.2 kg

Masa e B (m2B ₎ = 0.6 kg

Distanca midis A dhe boshtit të rrotullimit (r _A ) = 4 metra

Distanca midis B dhe boshtit të rrotullimit (rB ₎ = 12 – 4 = 8 metra

Kërkohet: Momenti i inercisë së sistemit

zgjidhje:

Momenti i inercisë së A-së

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2) (4) ² = (0.2) (16) = 3.2 kg m ²

Momenti i inercisë së B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Momenti i inercisë së sistemit:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Dinamika rrotulluese

5. Një forcë prej 6 N zbatohet në një kordon të mbështjellë rreth një rrotulle me masë M = 5 kg dhe rreze R = 20 cm. Cili është nxitimi këndor i rrotullës. Rrotulla është një cilindër i ngurtë uniform.

I njohur:

Forca (F) = 6 Njuton

Masa (M) = 5 kg

Rrezja (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Kërkohet: Përshpejtim këndor (α)

zgjidhje:

Momenti i forcës:

τ = FR = (6 Njuton) (0.2 metra) = 1.2 N m

Momenti i inercisë për cilindrin e ngurtë:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m2 )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m2.

Përshpejtimi këndor:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Një bllok me masë = 4 kg varet nga një litar i mbështjellë rreth një rrotulle me masë = 8 kg dhe rreze R = 10 cm. Nxitimi për shkak të gravitetit është 10 ms ^-2 . Cili është nxitimi linear i bllokut? Rrotulla është një cilindër i ngurtë uniform.

I njohur:

Masa e rrotullës (m) = 8 kg

Rrezja e rrotullës (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa e bllokut (m) = 4 kg

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 m/ ^s²

Pesha (p) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Njuton

Kërkohet: Përshpejtimi i rënies së lirë të bllokut

zgjidhje:

Momenti i inercisë së cilindrit të ngurtë:

I = 1/2 MR2 ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m2 ⁾ = 0.04 kg ^m2

Momenti i forcës:

τ = F r = (40 N) (0.1 m) = 4 Nm

Përshpejtimi këndor:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Përshpejtimi linear:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Një bllok me masë m varet nga një litar i mbështjellë rreth një rrotulle. Nëse nxitimi i rënies së lirë të bllokut është am/s2 ^, cili është momenti i inercisë së rrotullës?

I njohur:

pesha = w = mg

Krahu i levës = R

Nxitimi këndor = α

Përshpejtimi i rënies së lirë të bllokut = a ms ^-2

Kërkohet: Momenti i inercisë së rrotullës (I)

zgjidhje:

Lidhja midis nxitimit linear dhe nxitimit këndor:

a = Rα

α = a / R

Momenti i inercisë:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Momenti këndor

8. Një grimcë 0.2 gramëshe lëviz në një rreth me një shpejtësi konstante prej 10 m/s. Rrezja e rrethit është 3 cm. Cili është momenti këndor i grimcës?

I njohur:

Masa e grimcës (m) = 0.2 gram = 2 x 10 ^-4 kg

Shpejtësia këndore (ω) = 10 rad s ^-1

Rrezja (r) = 3 cm = 3 x 10 ^-2 metra

Kërkohet: Momenti këndor i grimcës

zgjidhje:

Ekuacioni i momentit këndor:

L = I ω

I = momenti këndor, I = momenti i inercisë, ω = shpejtësia këndore

Momenti i inercisë (për grimcat):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Momenti këndor:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Çfarë është lëvizja rrotulluese?
   • PërgjigjeLëvizja rrotulluese i referohet lëvizjes së një objekti rreth një boshti të fiksuar. Është lloji i lëvizjes në të cilën çdo pikë e objektit lëviz në një rreth rreth boshtit.
2. Si lidhet shpejtësia lineare me shpejtësinë këndore në lëvizjen rrotulluese?
   • PërgjigjeShpejtësi lineare ($v$) e një pike në një objekt rrotullues është drejtpërdrejt proporcionale me distancën e saj ($r$) nga boshti i rrotullimit dhe shpejtësia këndore ($\omega$) të objektit. Relacioni jepet nga $v=r\cdot \omega$.
3. Çfarë është momenti i inercisë dhe si lidhet ai me lëvizjen rrotulluese?
   • PërgjigjeMomenti i inercisë është analogu rrotullues i masës në lëvizje lineare. Ai mat rezistencën e një objekti ndaj ndryshimeve në gjendjen e tij rrotulluese. Momenti i inercisë varet si nga masa e një objekti ashtu edhe nga shpërndarja e tij në lidhje me boshtin e rrotullimit.
4. Si zbatohet ligji i parë i lëvizjes i Njutonit në lëvizjen rrotulluese?
   • PërgjigjeAshtu si një objekt në lëvizje lineare mbetet në lëvizje nëse nuk veprohet mbi të nga një forcë e jashtme, një objekt në lëvizje rrotulluese do të mbetet në atë gjendje nëse nuk veprohet mbi të nga një moment rrotullues i jashtëm.
5. Cila është rëndësia e rrezes së xhirimit?
   • PërgjigjeRrezja e rrotullimit jep një masë të shpërndarjes së masës së një objekti larg boshtit të tij të rrotullimit. Në thelb, ajo përshkruan se sa larg nga boshti duhet të përqendrohet e gjithë masa e objektit për të pasur të njëjtin moment inercie si shpërndarja origjinale.
6. Çfarë është impulsi këndor dhe si ruhet ai?
   • PërgjigjeMomenti këndor është ekuivalenti rrotullues i momentit linear. Është produkt i momentit të inercisë së një objekti dhe shpejtësisë këndore të tij. Në një sistem të mbyllur, momenti këndor total mbetet konstant nëse nuk veprohet nga një çift rrotullues i jashtëm, duke theksuar ruajtjen e momentit këndor.
7. Si ndikon momenti rrotullues në lëvizjen rrotulluese?
   • PërgjigjeMomenti rrotullues është ekuivalenti rrotullues i forcës. Ai shkakton ndryshime në lëvizjen rrotulluese të një objekti. Marrëdhënia jepet nga ligji i dytë i Njutonit për rrotullimin: $\tau =I\cdot \alpha$, Ku $\tau$ është çift rrotullues, $I$ është momenti i inercisë, dhe $\alpha$ është nxitimi këndor.
8. Si ndryshon qendra e masës nga qendra e rrotullimit?
   • PërgjigjeNdërsa ato mund të përkojnë, qendra e masës është pika ku e gjithë masa e një objekti mund të supozohet të jetë e përqendruar për qëllime llogaritjesh në lëvizje lineare, ndërsa qendra e rrotullimit është pika (ose boshti) rreth së cilës rrotullohet një objekt.
9. Cili është roli i forcës centripetale në lëvizjen rrotulluese?
   • PërgjigjeForca centripetale është forca neto që vepron mbi një objekt që lëviz në një trajektore rrethore, të drejtuar drejt qendrës së rrotullimit. Është përgjegjëse për mbajtjen e një objekti në trajektoren e tij të lakuar dhe për parandalimin e lëvizjes së tij në vijë të drejtë për shkak të inercisë.

10. Si lidhet energjia kinetike rrotulluese me momentin e inercisë dhe shpejtësinë këndore?

    • PërgjigjeEnergjia kinetike rrotulluese është energjia për shkak të rrotullimit të një objekti rreth një boshti. Ajo jepet nga formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Ku $I$ është momenti i inercisë dhe $\omega$ është shpejtësia këndore.