Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet

Momenti i inercisë për grimcat - problemet dhe zgjidhjet

1. Dy topa të lidhur nga një shufër, siç tregohet në figurën më poshtë. Injoroni masën e shufrës . Masa e topit P është 600 gram dhe masa e topit Q është 400 gram. Cili është momenti i inercisë së sistemit në lidhje me AB?

I njohur:

Boshti i rrotullimit është AB. Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet 1

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Kërkohet: Momenti i inercisë së sistemit

zgjidhje:

I = ^m^pr_r p2 ₊ m _q r _q2

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m2 ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m2 )

I = 0.024 kg ^m2 + 0.1 kg ^m2

I = 0.124 kg ^m2

2. Shufra e AB me masë 2 kg u rrotullua rreth pikës A, momenti i inercisë së shufrës është 8 kg m.²Nëse rrotullohet rreth pikës O (AO = OB), cili është momenti i inercisë së shufrës?

I njohur: Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet 2

Masa e shufrës AB (m) = 2 kg

Nëse rrotullohet rreth pikës A në mënyrë që rrezja e rrotullimit (r) = gjatësia e AB = r, atëherë momenti i inercisë (I) = 8 kg m²

Kërkohet: Nëse rrotullohet rreth pikës O në mënyrë që rrezja e rrotullimit (r) = gjatësia e AO = gjatësia e OB = 1/2 r, atëherë cili është momenti i inercisë së shufrës.

zgjidhje:

Unë = Z. ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r2 ⁼ 8 m2 ^/ 2

r2 ⁼ 4 ^m2

r = 2 metra

Nëse rrotullohet rreth pikës O në mënyrë që ½ r = 1 metër, atëherë momenti i inercisë:

I = mr2 ⁼ (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 ^m2 ) = 2 kg ^m2

3. Dy topa të lidhur nga një shufër siç tregohet në figurën më poshtë. Injoroni masën e shufrës. Cili është momenti i inercisë së sistemit.

I njohur:

Masa e topit A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet 3

Masa e topit B (m2B ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Distanca midis topit A dhe boshtit të rrotullimit (r_A) = 0

Shih edhe Ligji i parë i lëvizjes i Njutonit - problemet dhe zgjidhjet

Distanca midis topit B dhe boshtit të rrotullimit (r_B) = 25 cm = 0.25 m

Kërkohet: Momenti i inercisë së sistemit

zgjidhje:

Momenti i inercisë së topit A:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Momenti i inercisë së topit B:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Momenti i inercisë së sistemit:

Unë = unë_A+ Unë_B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² = 25 x 10^-3 kg m²

4. Katër grimca me masa të ndryshme, të paraqitura në figurën më poshtë. Përcaktoni momentin e inercisë së sistemit në lidhje me vijën horizontale P.

Zgjidhje

Boshti i rrotullimit është vija horizontale P.

I njohur: Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet 4

Masa e grimcës A (m_A) = m

Masa e grimcës B (m_B) = 2m

Masa e grimcës C (m_C) = 3m

Kalimi i grimcës D (m_D) = 4m

Distanca midis grimcës A dhe boshtit të rrotullimit (r_A) = b

Distanca midis grimcës B dhe boshtit të rrotullimit (r_B) = b

Distanca midis grimcës C dhe boshtit të rrotullimit (r_C) = 2b

Distanca midis grimcës D dhe boshtit të rrotullimit (r_D) = 2b

Kërkohet: Momenti i inercisë së sistemit në lidhje me vijën horizontale P

zgjidhje:

I = m_A r_A² +m_B r_B²+m_C r_C²+m_Dr_D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb²+ 2 mb² + (3m)(4b²) + (4m)(4b²)

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Unë = 31 mb ²

5. Katër grimca të lidhura nga një shufër. Injoroni masën e shufrës. Përcaktoni momentin e inercisë rreth boshtit të rrotullimit përmes grimcës m.₁ dhe m₂, siç tregohet në figurën më poshtë.

i njohur

Masa e grimcës 1 (m₁) = 1/4 kg Momenti i inercisë për grimcat – problemet dhe zgjidhjet 5

Masa e grimcës 2 (m₂) = 1/2 kg

Masa e grimcës 3 (m₃) = 1/4 kg

Masa e grimcës 4 (m₄) = 1/4 kg

Distanca midis grimcës 1 dhe boshtit të rrotullimit (r₁) = 0

Distanca midis grimcës 2 dhe boshtit të rrotullimit (r₂) = 0

Distanca midis grimcës 3 dhe boshtit të rrotullimit (r₃) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distanca midis grimcës 4 dhe boshtit të rrotullimit (r₄) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Shih edhe Zbatimet e parimit të Bernoulli-t

Kërkohet: Momenti i inercisë

zgjidhje:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂²+m₃ r₃²+m₄r₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

Unë = 2/400

I = 1/200 ^kg.m2

Cili është momenti i inercisë për një grimcë?
- PërgjigjePër një grimcë të vetme me masë $m$ në distancë $r$ nga një bosht rrotullimi, momenti i tij i inercisë $I$ është dhënë nga $I = m \times r^{2}$ .
Pse momenti i inercisë shpesh quhet "analogu rrotullues" i masës?
- PërgjigjeAshtu si masa është një masë e rezistencës së një objekti ndaj ndryshimeve në lëvizjen e tij përkthimore (për shkak të ligjit të dytë të Njutonit), momenti i inercisë është një masë e rezistencës së një objekti ndaj ndryshimeve në lëvizjen e tij rrotulluese.
Si ndikon ndryshimi i distancës së një grimce nga boshti i saj i rrotullimit në momentin e inercisë?
- PërgjigjeMomenti i inercisë është proporcional me katrorin e distancës nga boshti i rrotullimit. Nëse e dyfishoni distancën, momenti i inercisë do të rritet me një faktor katërfish.
Pse katrori i distancës është (r²) përdoret në formulën për momentin e inercisë në vend të vetëm distancës?
- PërgjigjeKatrori i distancës përdoret për shkak të mënyrës se si funksionon energjia kinetike në rrotullim. Në lëvizjen rrotulluese, çdo grimcë e një objekti kontribuon në energjinë kinetike rrotulluese bazuar si në masën e saj ashtu edhe në distancën e saj nga boshti në katror.
Si ndryshon momenti i inercisë së një grimce nëse masa e saj trefishohet duke mbajtur distancën nga boshti konstante?
- PërgjigjeNëse masa trefishohet dhe distanca mbahet konstante, edhe momenti i inercisë do të trefishohet sepse është drejtpërdrejt proporcional me masën.
A mund të ketë një grimcë një moment inercie zero? Nëse po, në çfarë kushtesh?
- PërgjigjePo, një grimcë do të ketë një moment inercie zero nëse ndodhet direkt në boshtin e rrotullimit, duke e bërë distancën e saj $r$ nga boshti i barabartë me zero.
Pse objekte të ndryshme me të njëjtën masë dhe madhësi kanë momente të ndryshme inercie kur rrotullohen rreth boshteve të ndryshme?
- PërgjigjeShpërndarja e masës rreth boshtit të rrotullimit përcakton momentin e inercisë. Edhe nëse dy objekte kanë të njëjtën masë dhe madhësi, shpërndarjet e tyre të masës në lidhje me boshtin e rrotullimit mund të ndryshojnë, duke çuar në momente të ndryshme të inercisë.
A është momenti i inercisë një madhësi skalare apo vektoriale?
- PërgjigjeMomenti i inercisë është një madhësi skalare. Megjithatë, për trupat e ngurtë me forma komplekse dhe akse të shumëfishta rrotullimi, ai përfaqësohet nga një tensor.
Nëse dy grimca, secila me masë $m$ , janë të vendosura në distanca $r_{1}$ $r_{2}$ Nga boshti i rrotullimit, cili është momenti i kombinuar i inercisë?
- PërgjigjeMomenti i inercisë është aditiv për grimca të veçanta. Kështu, momenti i kombinuar i inercisë $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Si lidhet momenti i inercisë me ruajtjen e momentit këndor?
- PërgjigjeImpuls këndor $L$ është produkt i momentit të inercisë $I$ dhe shpejtësia këndore $ω$ , e përfaqësuar nga ekuacioni $L = I \times ω$ Nëse nuk veprojnë çifte rrotulluese të jashtme në një sistem, momenti këndor do të mbetet konstant. Kjo do të thotë që nëse momenti i inercisë ndryshon (si në një patinator artistik që tërheq krahët), shpejtësia këndore duhet të përshtatet për ta mbajtur produktin konstant.