Dinamika e fluideve - problemet dhe zgjidhjet

Dinamika e fluideve - problemet dhe zgjidhjet

Teorema e Torricellit

1. Një enë e mbushur me ujë dhe me një vrimë, siç tregohet në figurën më poshtë. Nëse nxitimi për shkak të gravitetit është 10 ms^-2, cila është shpejtësia e ujit që kalon nëpër atë vrimë?

I njohur:

Lartësia (lartësia) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 m/s²

Kërkohet: Shpejtësia e ujit (v)

zgjidhje:

Teorema e Torricellit thotë se uji del nga vrima me të njëjtën shpejtësi si një objekt që bie lirisht nga e njëjta lartësi. Lartësia (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Shpejtësia e ujit llogaritet duke përdorur ekuacionin e lëvizje e lirë në rënie :

v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

2. Një enë e mbushur me ujë dhe me një vrimë, siç tregohet në figurën më poshtë. Nëse nxitimi për shkak të gravitetit është 10 ms^-2, cila është shpejtësia e ujit nëpër atë vrimë.

I njohur:

Lartësia (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 m/s²

Kërkohet: Shpejtësia e ujit (v)

zgjidhje:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

3. Një enë e mbushur me ujë dhe me një vrimë, siç tregohet në figurën më poshtë. Nëse nxitimi për shkak të gravitetit është 10 ms^-2, cila është shpejtësia e ujit nëpër atë vrimë.

I njohur:

Lartësia (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 m/s²

Kërkohet: Shpejtësia e ujit (v)

zgjidhje:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

4. Një enë e mbushur me ujë dhe me një vrimë, siç tregohet në figurën më poshtë. Nëse nxitimi për shkak të gravitetit është 10 ms^-2, cila është shpejtësia e ujit nëpër atë vrimë.

I njohur:

Lartësia (h) = 20 cm = 0.2 metra

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 m/s²

Kërkohet: Shpejtësia e ujit (v)

zgjidhje:

5. Një enë e mbushur me ujë dhe aty janë dy vrimës, siç tregohet në figurën e mëposhtme. Cili është raporti i x-it₁ te x₂?

Solution

Intervali kohor i rënies së lirë të ujit nga vrima 1:

h = 1/2 në²

0.8 = 1/2 (10) t²

0.8 = 5 t²

t² = 0.8 / 5 = 0.16

t = 0.4 sekonda

Intervali kohor i rënies së lirë të ujit nga vrima 2:

h = 1/2 në²

0.5 = 1/2 (10) t²

0.5 = 5 t²

t² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 sekonda

Distanca horizontale (x):

x₁ v₁ t₁ = (2)(0.4) = 0.8 metra

x₂ v₂ t₂ = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = 1 metër

Raporti i x₁ te x₂ :

x_{1 :} x₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Ekuacioni i vazhdimësisë

6. Uji rrjedh nëpër një tub me diametër të ndryshëm, nga A në B dhe pastaj në C. Raporti i A me C është 8:3. Nëse shpejtësia e ujit në tubin A është v, cila është shpejtësia e ujit në tubin C?

I njohur:

Zona e A (A_A) = 8

Zona e C (A_C) = 3

Shpejtësia e ujit në tubin A (v_A) = v

Kërkohet: Shpejtësia e ujit në tubin C (v_C)

zgjidhje:

Ekuacioni i vazhdimësisë:

A_A v_A = A_C v_C

8 v = 3 v_C

v_C = 8/3 v

7. Nëse shpejtësia e ujit në një tub me diametër 12 cm është 10 cm/s, cila është shpejtësia e ujit në një tub me diametër 8 cm?

I njohur:

Diametri 1 (d₁) = 12 cm, rrezja 1 (r₁) = 6 cm

Diametri 2 (d₂) = 8 cm, rrezja 2 (r₂) = 4 cm

Shpejtësia e ujit 1 (v₁) = 10 cm/s

Kërkohet: Shpejtësia e ujit 2 (v₂)

zgjidhje:

Zona 1 (A₁) = π r² = π 6² = 36π cm²

Zona 2 (A₂) = π r² = π 4² = 16π cm²

Ekuacioni i vazhdimësisë:

A₁ v₁ = A₂ v₂

(36π)(10) = (16π) v₂

(36)(10) = (16) v₂

360 = (16) v₂

v₂ = 360 / 16

v₂ = 22.5 cm/s

8. Uji rrjedh përmes një tubi me diametër të ndryshëm, siç tregohet në figurën më poshtë. Nëse zona 1 (A₁) = 8 cm², A₂ = 2 cm² dhe shpejtësia e ujit në tubin 2 = v₂ = 2 m/s, atëherë cila është shpejtësia e ujit në tubin 1 = v₁.

I njohur:

Zona 1 (A₁) = 8 cm²

Zona 2 (A₂) = 2 cm²

Shpejtësia e ujit në tubin 2 (v₂) = 2 m/s

Kërkohet: shpejtësia e ujit në tubin 1 (v₁)

zgjidhje:

Ekuacioni i vazhdimësisë:

A₁ v₁ = A₂ v₂

8 v₁ = (2)(2)

8 v₁ = 4

v₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Nëse diametri i tubit më të madh është 2 herë diametri i tubit më të vogël, cila është shpejtësia e lëngut në tubin më të vogël?

I njohur:

Diametri i tubit më të madh (d₁) = 2

Rrezja e tubit më të madh (r₁) = ½ ditë₁ = ½ (2) = 1

Sipërfaqja e tubit më të madh (A₁) = π r₁² = π (1)² = π (1) = π

Diametri i tubit më të vogël (d₂) = 1

Rrezja e tubit më të vogël (r₂) = ½ ditë₂ = ½ (1) = ½

Sipërfaqja e tubit më të vogël (A₂) = π r₂² = π (1/2)² = π (1/4) = ¼ π

Shpejtësia e lëngut në tubin më të madh (v₁) = 4 m/s

Kërkohet: Shpejtësia e lëngut në tubin më të vogël (v₂)

zgjidhje:

Ekuacioni i vazhdimësisë:

A₁ v₁ = A₂ v₂

π 4 = ¼ π (v₂)

4 = ¼ (v₂)

v₂ = 8 m/s

Parimi dhe ekuacionet e Bernoulli-t

10. WUji pompohet me një shpejtësi prej 120 kP.a kompresori hyn në tubin e poshtëm (1) dhe rrjedh lart me një shpejtësi prej 1 m/s. Përshpejtimi për shkak të gravitetit është 10 m/s dhe dendësia e ujit is 1000 kg / m^-3. Çfarë është tPresioni i ujit në tubin e sipërm (II).

I njohur:

Rrezja e tubit të poshtëm (r₁) = 12 cm

Rrezja e tubit të poshtëm (r₂) = 6 cm

Presioni i ujit në tubin e poshtëm (p₁) = 120 kPa = 120,000 Paskal

Shpejtësia e ujit në tubin e poshtëm (v₁) = 1 ms^-1

Lartësia e tubit të poshtëm (h₁) = 0 m

Lartësia e tubit të sipërm (h₂) = 2 m

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 ms^-2

Dendësia e ujit = 1000 kg.m^-3

Kërkohet: Presioni i ujit në tubin 2 (p₂)

zgjidhje:

Shpejtësia e ujit në tubin 2 llogaritet me ekuacionin e vazhdimësisë:

Presioni i ujit në tubin 2 llogaritet duke përdorur ekuacionin Bernoulli:

11. Një lnjë tub i madh 5 metra mbi tokë dhe një tub i vogël 1 metër mbi tokë. Shpejtësia e ujit në një tub të madh është 36 km / h me një presion prej 9.1 x 10⁵ Pa, ndërsa presioni në tubin e vogël është 2.10⁵ Pa. Çfarë është shpejtësia e ujit inë tubin e vogël? Ujë dendësia = 10³ kg / m³

I njohur:

Presioni i ujit në tubin e madh (p₁) = 9.1 x 10⁵ Paskal = 910,000 Paskal

Presioni i ujit në tubin e vogël (p₂) = 2 x 10⁵ Paskal = 200,000 Paskal

Shpejtësia e ujit në tubin e madh (v₁) = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Lartësia e tubit të madh (h₁) = -4 metra

Lartësia e tubit të vogël (h₂) = 0 metra

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 ms^-2

Dendësia e ujit = 1000 kg/m³

Kërkohet: Shpejtësia e ujit në tubin e vogël (v₂)

zgjidhje:

Shpejtësia e ujit në tubin e vogël (v₂) llogaritet duke përdorur ekuacionin e Bernoulli-t:

12. Një pte litari me një rreze of 15 cm të lidhura me një tub tjetër me një rreze prej 5 cm. Të dyja janë në pozicion horizontal. TShpejtësia e rrjedhjes së ujit në tubin e madh është 1 m/s në një presion prej 10⁵ N/m². Çfarë është the ujë presion mbi tubin e vogël (1 g cm^-3)

I njohur:

Rrezja e tubit të madh (r₁) = 15 cm = 0.15 m

Rrezja e tubit të vogël (r₂) = 5 cm = 0.05 m

Presioni i ujit në tubin e madh (p₁) = 10⁵ Nr m^-2 = 100.000 N m^-2

Shpejtësia e ujit në tubin e madh (v₁) = 1 ms^-1

Përshpejtimi për shkak të gravitetit (g) = 10 ms^-2

Ujë densitet = 1 gram cm^-3 = 1000 kg m^-3

Diferenca e lartësisë (Δh) = 0.

Kërkohet: Presioni në tubin e vogël (p₂)

zgjidhje:

Shpejtësia e ujit në tubin 2 llogaritet duke përdorur ekuacionin e vazhdimësisë:

Presioni i ujit në tubin e vogël (p₂) llogaritet duke përdorur ekuacionin e Bernoulli-t:

1. Çfarë është dinamika e lëngjeve?
   • Përgjigje: Dinamika e lëngjeve është dega e fizikës që studion lëvizjen e lëngjeve (lëngjeve dhe gazeve) dhe forcat që veprojnë mbi to. Ajo përfshin parimet dhe ekuacionet që përshkruajnë se si rrjedhin lëngjet, bashkëveprojnë me kufijtë e trupave të ngurtë dhe ndikojnë tek njëri-tjetri.
2. Cili është ndryshimi midis rrjedhës laminare dhe turbulente?
   • Përgjigje: Rrjedha laminare karakterizohet nga shtresa të lëmuara dhe paralele të lëngut që lëvizin në shtigje të rregullta. Rrjedha turbulente, nga ana tjetër, është kaotike, me vorbulla, vorbulla dhe luhatje të shpejta. Turbulenca përgjithësisht ndodh në shpejtësi të larta ose në kanale me formë të çrregullt.
3. Si është i rëndësishëm koncepti i viskozitetit në dinamikën e lëngjeve?
   • Përgjigje: Viskoziteti mat rezistencën e një lëngu ndaj prerjes ose rrjedhjes. Lëngjet me viskozitet të lartë (si mjalti) i rezistojnë rrjedhjes më shumë sesa lëngjet me viskozitet të ulët (si uji). Në dinamikën e lëngjeve, viskoziteti luan një rol vendimtar në përcaktimin e natyrës së rrjedhjes së lëngut, shpërndarjes së energjisë dhe forcave të rezistencës.
4. Cili është parimi i Bernoulli-t?
   • Përgjigje: Parimi i Bernoulli-t thotë se në një rrjedhje të qëndrueshme, shuma e energjisë së presionit, energjisë kinetike dhe energjisë potenciale për njësi vëllimi mbetet konstante. Në mënyrë specifike, aty ku shpejtësia e lëngut është e lartë, presioni është i ulët dhe anasjelltas.
5. Si lidhet parimi i ngritjes në aerodinamikë me dinamikën e lëngjeve?
   • Përgjigje: Ngritja në krahun e një avioni mund të shpjegohet duke përdorur parimin e Bernoulli-t dhe ligjin e tretë të Njutonit. Ndërsa ajri rrjedh mbi krah, ai lëviz më shpejt mbi sipërfaqen e sipërme të lakuar sesa në pjesën e poshtme, duke krijuar një ndryshim presioni. Ky ndryshim në presion, i kombinuar me devijimin poshtë të ajrit nga krahu, rezulton në një forcë lart ose ngritje.
6. Cili është ekuacioni i vazhdimësisë në dinamikën e lëngjeve?
   • Përgjigje: Ekuacioni i vazhdimësisë pohon se prodhimi i sipërfaqes së prerjes tërthore (A) të një rrjedhe dhe shpejtësisë së saj (v) mbetet konstant përgjatë një vije rrjedhëse në një rrjedhë të qëndrueshme. Matematikisht, A₁â € <v_{1â € <}=A₂â € <v₂â € <, Ku A_{1â € <} A₂â € < janë sipërfaqet e prerjes tërthore dhe v₁â € < v_{2â € <} janë shpejtësitë në dy pika përgjatë vijës së rrjedhës.
7. Çfarë roli luan numri i Reynolds në dinamikën e fluideve?
   • Përgjigje: Numri i Reynolds është një madhësi pa dimensione që ndihmon në parashikimin e regjimit të rrjedhjes (laminar, kalimtar ose turbulent) në dinamikën e lëngjeve. Ai përkufizohet si raporti i forcave inerciale me forcat viskoze dhe varet nga faktorë të tillë si shpejtësia e lëngut, gjatësia karakteristike dhe vetitë e lëngut.
8. Si vepron forca e rezistencës mbi objektet që lëvizin në një lëng?
   • Përgjigje: Forca e rezistencës kundërshton lëvizjen e një objekti përmes një lëngu. Ajo lind për shkak të rezistencës viskoze të lëngut dhe ndryshimeve të presionit rreth objektit. Madhësia dhe natyra e rezistencës varen nga faktorë të tillë si forma e objektit, vrazhdësia, shpejtësia dhe vetitë e lëngut.
9. Çfarë është efekti Venturi?
   • Përgjigje: Efekti Venturi i referohet uljes së presionit të lëngut që ndodh kur një lëng rrjedh nëpër një seksion të ngushtë të një tubi. Ndërsa shpejtësia e lëngut rritet në seksionin e ngushtë (për shkak të ruajtjes së masës), presioni i tij zvogëlohet sipas parimit të Bernoulli-t.
10. Pse lëngu shpejtohet kur rrjedh nëpër një seksion të ngushtë të një tubi ose kanali?

• Përgjigje: Kjo sjellje mund të shpjegohet me parimin e ruajtjes së masës. Në një rrjedhë të qëndrueshme, vëllimi i lëngut që hyn në një seksion të një tubi duhet të jetë i barabartë me vëllimin që del. Nëse tubi është i ngushtë, lëngu duhet të shpejtohet për të lejuar që i njëjti vëllim të kalojë nëpër të në një kohë të caktuar.