Quhet ekuacioni i Poiseuille sepse u zbulua nga i ndjeri Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Siç u shpjegua, çdo lëng mund të konsiderohet si një lëng ideal. Lëngjet ideale nuk kanë viskozitet. Nëse imagjinojmë një lëng ideal që rrjedh në një tub, çdo pjesë e lëngut lëviz me të njëjtën shpejtësi (v). Ndryshe nga lëngjet ideale, lëngjet reale, ose lëngjet që hasim në jetën e përditshme, kanë viskozitet. Meqenëse ato kanë viskozitet, kur rrjedhin në një tub, për shembull, shpejtësia e secilës pjesë të lëngut ndryshon. Shtresa e lëngut në mes lëviz më shpejt (v është e madhe), ndërsa shtresa e lëngut e bashkangjitur në tub nuk lëviz, pra nuk lëviz (v = 0). Pra, nga qendra në skajin e tubit, çdo pjesë e lëngut lëviz me shpejtësi të ndryshme. Për ta bërë më të lehtë për ju ta kuptoni, vëzhgoni imazhin më poshtë…
Informacion:
R = rrezja e tubit/tubit
v1 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në qendër/boshtin e tubit
v2 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në një distancë r2 nga buza e tubit
v3 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në një distancë r3 nga buza e tubit
v4 = shpejtësia e rrjedhjes së lëngut në një distancë r4 nga buza e tubit
r = distanca
Për të siguruar që shpejtësia e rrjedhjes së secilit lëng është e njëjtë, duhet të ketë një ndryshim presioni në të dy skajet e çdo tubi ose tubi nëpër të cilin rrjedh lëngu. Me lëng këtu, nënkuptojmë lëngje të vërteta, të tilla si uji ose vaji që rrjedh nëpër një tub, gjaku që rrjedh nëpër enët e gjakut, etj. Përveçse ndihmojnë në rrjedhjen e qetë të një lëngu të vërtetë, ndryshimet e presionit mund të lejojnë gjithashtu që lëngjet të rrjedhin në tuba në lartësi të ndryshme.
Jean Louis Marie Poiseuille, një ish-shkencëtar francez i interesuar në aspektet fizike të qarkullimit të gjakut tek njerëzit, kreu kërkime për të hetuar se si faktorë të tillë si ndryshimet e presionit, sipërfaqja e prerjes tërthore të një tubi dhe madhësia e tubit ndikojnë në shpejtësinë e një lëngu të vërtetë. Rezultatet e marra nga Jean Louis Marie Poiseuille njihen si ekuacioni i Poiseuille.
Ekuacioni i Poiseuille mund të nxirret duke përdorur ekuacionin e koeficientit të viskozitetit të nxjerrë më parë. Ne përdorim ekuacionin e viskozitetit sepse rasti është i ngjashëm, megjithëse jo identik. Kur nxjerrim ekuacionin e koeficientit të viskozitetit, ne marrim në konsideratë rrjedhën e një shtrese fluidi real midis dy pllakave paralele, dhe lëngu është në gjendje të lëvizë për shkak të forcës tërheqëse (F). Dallimi është se ekuacioni i Poiseuille që do të nxjerrim në të vërtetë përcakton faktorët që ndikojnë në rrjedhën e një fluidi real në një tub/tub, dhe lëngu rrjedh për shkak të ndryshimeve të presionit. Prandaj, ekuacioni i koeficientit të viskozitetit duhet të rregullohet përsëri.
Lëngjet mund të rrjedhin për shkak të ndryshimeve në presion (lëngjet rrjedhin nga vendet me presion të lartë në vendet me presion të ulët), kështu që ne e zëvendësojmë F me p1 - f2 (p1 > p2).
Kur nxjerrim ekuacionin për koeficientin e viskozitetit, ne marrim në konsideratë rrjedhën e një shtrese të lëngut real midis dy pllakave paralele. Çdo pjesë e lëngut përjeton një ndryshim të rregullt në shpejtësi me një distancë l. Në këtë rast, shpejtësia e rrjedhjes së lëngut ndryshon rregullisht nga boshti i tubit në skajin e tubit. Lëngu në boshtin e tubit rrjedh me një shpejtësi më të madhe (v). Sa më shumë që shkon drejt skajit, shpejtësia e lëngut zvogëlohet. Rrezja e tubit = distanca midis boshtit të tubit dhe skajit të tubit = R. Distanca midis secilës pjesë të lëngut dhe skajit të tubit = r. Meqenëse numri i secilës pjesë të lëngut është shumë i madh dhe distanca e tyre nga skaji i tubit gjithashtu ndryshon, ne thjesht e shkruajmë kështu:
v1 = shpejtësia e lëngut në një distancë r1 nga buza e tubit (r1 = R)
v2 = shpejtësia e lëngut në një distancë r2 nga buza e tubit (r2 < r1)
v3 = shpejtësia e lëngut në një distancë r3 nga buza e tubit (r3 < r2 < r1)
v4 = shpejtësia e lëngut në një distancë r4 nga buza e tubit (r4 < r3 < r2 < r1)
..
vn = shpejtësia e lëngut në një distancë rn nga buza e tubit (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Numri i secilës pjesë të lëngut është shumë i madh dhe gjithashtu nuk e dimë saktësisht se sa është në të vërtetë, kështu që mjafton ta shkruajmë me simbolin n. Çdo pjesë e lëngut përjeton një ndryshim në shpejtësi (v) rregullisht, nga boshti i tubit (r1 = R) deri në skajin e tubit (rn). Nga boshti i tubit (r1 = R) deri në skajin e tubit (rn), shpejtësia e secilës pjesë të lëngut zvogëlohet (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Nga shpjegimi i mësipërm, mund të krijojmë një ide se nga R në rn, shpejtësia e lëngut zvogëlohet. Gjatësia e tubit = L. Ekuacioni i përftuar është:
Meqenëse ajo që po shqyrtojmë është shpejtësia (v) e rrjedhjes së lëngut, ekuacioni 2 bëhet:
Ky është ekuacioni për shpejtësinë e rrjedhjes së lëngut në një distancë r nga një tub me rreze R. Nëse jeni të hutuar ndërsa shikoni imazhin më sipër... Ju lutemi vini re se lëngu rrjedh në një tub ose tub, kështu që duhet të rishikojmë shpejtësinë e rrjedhjes vëllimore të lëngut.
Brenda tubit ndodhet një lëng. Për shembull, ne e ndajmë lëngun në copa shumë të vogla, ku secila copë ka një sipërfaqe njësie dA, është e distancuar nga boshti i tubit dhe ka një shpejtësi rrjedhjeje v. Matematikisht, kjo mund të shkruhet si më poshtë:
dA1 = seksioni 1 i lëngut, i cili është një distancë prej 1 nga boshti i tubit
dA2 = seksioni 2 i lëngut, i cili është një distancë prej 2 nga boshti i tubit
dA3 = seksioni 3 i lëngut, i cili është një distancë prej 3 nga boshti i tubit
..................................
dA n = seksioni i lëngut n, që është një distancë dA n nga boshti i tubit
Ka kaq shumë pjesë fluide saqë është e përshtatshme t'i shkruash thjesht me simbolin n. Shkalla e rrjedhjes vëllimore të secilës pjesë fluide mund të shkruhet matematikisht si më poshtë:
Çdo copë lëngu është në një distancë prej r = 0 deri në r = R (R = rrezja e tubit). Me fjalë të tjera, distanca e secilës copë lëngu ndryshon kur matet nga boshti i tubit. Nëse bëjmë analiza (integrim), do të marrim ekuacionin për shpejtësinë e rrjedhjes vëllimore të lëngut në tub:
Informacion:
Q = Debitim
R = Rrezja e brendshme e tubit ose tubit
η = Koeficienti i viskozitetit
P1 - f2 = Diferenca e presionit midis dy skajeve të tubit
L = Gjatësia e tubit
p1-p2/L = Gradienti i presionit (rrjedha e lëngut shkon gjithmonë në drejtim të uljes së presionit)
Bazuar në ekuacionin e Poiseuille më sipër, duket se shkalla e rrjedhjes vëllimore të lëngut, e njohur edhe si shkarkim (Q), është proporcionale me fuqinë e katërt të rrezes së tubit (R).4), gradient presioni (p2 - f1 /L) dhe është në përpjesëtim të zhdrejtë me viskozitetin. Nëse rrezja e tubit rritet (koeficienti i viskozitetit dhe gradienti i presionit mbeten konstante), atëherë shpejtësia e rrjedhjes së lëngut rritet me një faktor 16.
Koncepti bazë i projektimit të tubave, shiringave etj. përdor këtë ekuacion. Shkarkimi i lëngjeve është proporcional me R4 (R = rrezja e tubit). Rrezja e shiringës ose rrezja e tubit duhet të llogaritet me kujdes. Për shembull, nëse dyfishojmë rrezen e gjilpërës (r x 2), atëherë shkarkimi i lëngut që spërkat = rrit forcën e presionit të gishtit të madh me 16 herë.
Ekuacioni i Poiseuille tregon gjithashtu se fuqia e katërt e rrezes (r4), është në përpjesëtim të zhdrejtë me ndryshimin e presionit midis dy skajeve të tubit. Për shembull, fillimisht gjaku rrjedh në një enë gjaku me një rreze të brendshme r. Nëse ka një ngushtim të enës së gjakut (për shembull, r/2 = rrezja e brendshme e enës së gjakut zvogëlohet me 2 herë), atëherë nevojitet një ndryshim presioni prej 16 herësh që gjaku të rrjedhë si më parë (në mënyrë që shkarkimi ose shkalla e rrjedhjes së vëllimit të gjakut të mbetet konstante).
