Shembuj Pyetjesh që Diskutojnë Variancën dhe Devijimin Standard të të Dhënave të Grupit
Pendahuluan
Në statistikë, varianca dhe devijimi standard janë dy masa statistikore që janë thelbësore për të kuptuar shpërndarjen, ose përhapjen, e të dhënave nga mesatarja. Varianca mat se sa larg janë përhapur të dhënat nga mesatarja, ndërsa devijimi standard është rrënja katrore e variancës, duke ofruar një masë që është në të njëjtat njësi si të dhënat origjinale.
Patjetër
– Varianca (σ² ose S²): Është mesatarja e katrorëve të ndryshimeve midis secilës vlerë të të dhënave dhe mesatares së të dhënave.
– Devijimi Standard (σ ose S): Është rrënja katrore e variancës.
Formula për Variancën dhe Devijimin Standard të të Dhënave të Grupit
Për të dhënat në grup, ne përdorim frekuencën e të dhënave në secilën klasë. Ja formula:
Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Devijimi Standard
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Ku:
– \(f_i \) = frekuenca e secilës klasë.
– \( x_i \) = pika e mesit e secilës klasë.
– \( \bar{x} \) = mesatarja e të dhënave të grupit.
– \( N \) = numri total i të dhënave.
Pyetje shembull dhe diskutim
Supozojmë se kemi të dhëna për peshën e një grupi njerëzish të grupuar në klasa.
| Intervali i peshës (kg) | Frekuenca (f) |
|—————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Hapi i parë është të përcaktohet pika e mesme e secilës klasë (\(x_i\)) dhe pastaj të llogaritet mesatarja (\(x}\)).
1. Llogaritja e pikës së mesit (\(x_i\))
\[ \text{Pika e Mesme} = \frac{\text{Kufiri i Poshtëm} + \text{Kufiri i Sipërm}}{2} \]
| Intervali i peshës (kg) | Frekuenca (f) | Pika e mesit (\(x_i\)) |
|———————|—————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Llogaritja e Mesatares (\(\bar{x}\))
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Numri total i të dhënave (N):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[\sum f_i x_i = (2 herë 52) + (5 herë 57) + (8 herë 62) + (7 herë 67) + (3 herë 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Pra, mesatarja (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Llogaritja e Variancës (\(S^2\))
Duhet të llogarisim \(\sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{drejto}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{drejtoj}
\]
Shumëzimi me frekuencën:
\[
\begin{drejto}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \ herë 33.64 = 168.2 \
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \ herë 17.64 = 123.48 \
& 3 \times 84.64 = 253.92
\end{drejtoj}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Tani mund të llogarisim variancën (\(S^2\)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \afërsisht 32.85 \]
4. Llogaritja e Devijimit Standard (\(S\))
Devijimi standard (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \approx 5.73 \]
konkluzioni
Nga të dhënat e shembullit më sipër, kemi:
– Llogaritja e peshës mesatare të trupit: 62.8 kg
– Duke llogaritur variancën: 32.85 kg²
– Llogaritja e devijimit standard: 5.73 kg
Interpretimi i devijimit standard është se devijimi mesatar i të dhënave të peshës nga mesatarja është afërsisht 5.73 kg. Kjo tregon përhapjen e të dhënave në lidhje me mesataren, gjë që mund të ndihmojë në nxjerrjen e përfundimeve se sa të ndryshueshme janë të dhënat tona.
Një kuptim i plotë i variancës dhe devijimit standard është thelbësor, veçanërisht për ata që punojnë në statistikë, kërkim dhe testim, pasi përpiqen të kuptojnë të dhënat në formën e grupeve ose shpërndarjeve. Njohja e mënyrës së llogaritjes dhe interpretimit të këtyre dy masave mund të ndihmojë në vendimmarrje më të mirë bazuar në të dhënat në dispozicion.
