Meatotino o Galuega Fa'atino e Maua Mai
O le fa'asologa o se galuega faatino o se manatu autū i le calculus e fuaina ai le fua faatatau o le suiga o se galuega faatino i se tulaga ua tu'uina atu. O fa'asologa e tu'uina atu ai ni malamalamaga taua i amioga ma meatotino o galuega faatino, e aofia ai le uiga masani o le fa'ateleina pe fa'aitiitia o tau o se galuega faatino, taimi e liliu ai, ma isi fa'amatalaga taua. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai meatotino eseese o le fa'asologa o se galuega faatino ma ona fa'aoga i tulaga eseese.
1. Fa'amatalaga o le Derivative
O le fa'aliliuga o se galuega faatino \( f \) i se tulaga \( x \) o le tapula'a lea o le suiga o le galuega faatino \( f \) e fa'atatau i le suiga o le fesuia'iga \( x \) a'o latalata atu le suiga i le zero. I le fa'amatematika, o le fa'aliliuga o le galuega faatino \( f \) i se tulaga \( x \), ua fa'ailoa mai o le \( f'(x) \) po'o le \( \frac{df}{dx} \), ua fa'amatalaina e pei o:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]
O lenei fa'aliliuga e fa'amatalaina ai le auala e suia ai le galuega faatino \( f \) i ni suiga laiti i le \( x \).
2. Tulafono Fa'avae o le Eseesega
O loʻo i ai ni tulafono faʻavae e matuā aoga tele i eseesega. O nisi ia o na tulafono:
a. Tulafono Tumau
Afai o le \( c \) o se tumau, o lona uiga o le derivative o le \( c \) e zero.
\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]
b. Tulafono o le Faasinomaga
O le fua fa'atatau o le \( x \) e 1.
\[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]
i. Tulafono o Tulaga
Afai o le \( n \) o se numera moni, o lona uiga o le derivative o le \( x^n \) e faapea:
\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \]
d. Galuega Fa'atino Fa'asolosolo Tulafono Tumau
Afai o le \( c \) o se tumau, o lona uiga o le derivative o le \( cf(x) \) e faapea:
\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]
e. Tulafono Fa'aopoopo
O le fua fa'atatau o le aofa'i o galuega faatino e lua o le aofa'i lea o fua fa'atatau o galuega faatino ta'itasi.
\[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \]
f. Tulafono o le Faatelega
O le fua fa'atatau o le oloa o galuega faatino e lua \( f \) ma le \( g \) e tu'uina atu e:
\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]
g. Tulafono o le Tufaina
O le fua fa'atatau o le vaevaeina o galuega faatino e lua \( f \) ma le \( g \) e tu'uina atu e:
\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]
h. Tulafono o le Filifiliga
Afai o se galuega faatino \( y \) o se tuufaatasiga o galuega faatino e lua, o lona uiga \( y = f(g(x)) \), ona tuuina atu lea o lona derivative e ala i le tulafono o le chain:
\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
3. Meatotino Maua
a. Fa'aauauina ma le Fa'asaoina
Afai o se galuega faatino \( f \) e iai se fa'asologa i se tulaga \( a \), e tatau la ona fa'aauau pea le galuega faatino i lena tulaga. Peita'i, o le fa'aauauina o se galuega faatino i se tulaga e le fa'amautinoa ai o lo'o iai se fa'asologa i lena tulaga. Mo se fa'ata'ita'iga, o le galuega faatino taua atoatoa \( f(x) = |x| \) e fa'aauau pea i le \( x = 0 \), ae leai se fa'asologa i lena tulaga.
e. Fa'asologa Lua ma Fa'asologa Maualuga
I le faia o le fa'avasegaina faifai pea, e mafai ona tatou maua le fa'asologa lona lua \( f”(x) \), le fa'asologa lona tolu \( f”'(x) \), ma isi mea fa'apena. O le fa'asologa lona lua e maua ai fa'amatalaga e uiga i le concavity o le kalafa o le galuega faatino. Afai e lelei le fa'asologa lona lua, o le kalafa o le galuega faatino e fa'aputu i luga, ae afai e leaga, o le kalafa o le galuega faatino e fa'aputu i lalo.
i. Tulaga Taua
O se tulaga taua o se galuega faatino \( f \) o se tulaga lea e leai ai pe leai foi le uluai derivative \( f'(x) \). O se tulaga taua e mafai ona avea ma se tulaga tumau (local minimum, local maximum, po'o le saddle point). O le au'ili'iliga fa'aopoopo i le derivative lona lua po'o le su'ega muamua derivative e fa'aaogaina e fa'avasega ai le ituaiga o tulaga taua.
d. Fuainumera o Suiga
E mafai ona fa'aaogaina le derivative o se function e fuafua ai le fua faatatau o le suiga o se mea e tupu. I le fisiki, o le derivative o le tulaga e tusa ai ma le taimi e maua ai le saoasaoa, ma o le derivative o le saoasaoa e tusa ai ma le taimi e maua ai le fa'avavevaveina. I le tamaoaiga, o le derivative o le total cost function e tusa ai ma le output e maua ai le tau fa'atapula'a.
e. Fa'ateleina ma Fa'aitiitia Galuega Fa'atino
Afai o le \( f'(x) > 0 \) i se vaitaimi ua tu'uina atu, ona fa'ateleina lea o le \( f \) i lena vaitaimi. I se isi itu, afai o le \( f'(x) < 0 \), ona fa'aitiitia lea o le \( f \) i lena vaitaimi. E matua aoga lava lenei mea i le au'ili'iliga o galuega faatino e iloa ai le amioga a se galuega faatino i vaitaimi eseese o lona vaega. 4. Fa'aogaina o Mea e Maua Mai i Matā'upu Eseese a. Tamaoaiga I le tamaoaiga, e fa'aaogaina mea e maua mai ai e iloilo ai le fa'aitiitia o tupe. Mo se fa'ata'ita'iga, o le tau o le tau, o le mea e maua mai ai le galuega faatino atoa e fa'atatau i le aofa'i o le gaosiga. E fesoasoani lea e iloa ai le tau fa'aopoopo o le gaosia o le tasi iunite fa'aopoopo o se oloa.
\[ \text{Tau Fa'atapula'a} = \frac{d}{dQ}[\text{Tau Aofa'i}] \] b. Inisinia I le inisinia, e fa'aaogaina mea e maua mai ai e fuafua ai le fua faatatau o suiga i faiga fa'aletino, e pei o le saoasaoa ma le fa'avavevaveina i le gaioiga fa'amekanika, po'o le suiga o le vevela i faiga fa'avevela. c. Saienisi Fa'amaumauga ma le A'oa'oina o Masini I le saienisi fa'amaumauga ma le a'oa'oina o masini, o gradients — o vectors o mea e maua mai ai vaega — e fa'aaogaina i algorithms fa'aleleia e fa'aitiitia ai le leiloa po'o galuega tau. O le algorithm gradient descent, mo se fa'ata'ita'iga, e fa'alagolago i le fa'atulagaina o mea e maua mai ai e su'e ai fa'asologa sili ona lelei i se fa'ata'ita'iga a'oa'oina o masini. d. Fisiki I le fisiki, e fa'aaogaina mea e maua mai ai e fa'amatala ai mea eseese fa'alenatura. O Tulafono a Newton o le Gaioiga, mo se fa'ata'ita'iga, e fa'aaoga mea e maua mai ai e fuafua ai le sootaga i le va o le malosi, le mamafa, ma le fa'avavevaveina. \[ F = ma \quad \text{with} \quad a = \frac{dv}{dt} \] e. Tupe I le tupe, e fa'aaogaina mea e maua mai ai e fuafua ai le maaleale o le tau o se filifiliga po'o se isi meafaigaluega tau tupe i suiga i fesuia'iga eseese, e ta'ua o "tagata Eleni." Faaiuga O le fa'aliliuga o se galuega faatino o se manatu faavae ma lautele i le calculus ma fa'aoga lautele i toetoe lava o matā'upu uma o le saienisi. Mai fa'avae o fa'atusatusaga fa'apitoa i fa'aoga faigata i le inisinia, tamaoaiga, ma le saienisi o fa'amaumauga, o le malamalama i meatotino o fa'aliliuga e taua tele mo le au'ili'iliga atoatoa ma le fo'ia o fa'afitauli i le tele o matā'upu. I le avea ai o se meafaigaluega au'ili'ili, e mafai ai e fa'aliliuga ona tatou fa'ata'ita'i, su'esu'e, ma fa'aleleia atili mea faigata o le lalolagi moni.