Fa'atusatusaga o le Laina Tangent i le Li'o
O le li'o o se tasi o mea taua fa'ata'atitia ma e masani ona maua i vaega eseese o le saienisi, mai le matematika fa'avae i le inisinia sivili ma le fausaga o fale. O se tasi o manatu autu e feso'ota'i ma li'o i le fa'ata'atitia fa'ata'atitia o le fua fa'atatau o le laina tangent i le li'o. O le malamalama i le fua fa'atatau o le laina tangent i se li'o e tatala ai se malamalamaga loloto i sootaga i le va o mea fa'ata'atitia ma a latou fa'aoga i le olaga i aso faisoo. O lenei tusiga o le a fa'amatalaina auiliili ai le fua fa'atatau o le laina tangent i se li'o, e amata i le manatu fa'avae ma le maua mai o le fua fa'atatau, fa'apea fo'i ma le fa'aogaina o fa'ata'ita'iga.
Manatu Fa'avae o le Pagent i se Li'o
O le tangent i se li'o o se laina e pa'i atu i le li'o i le na'o le tasi le tulaga e aunoa ma le fe'avea'i ai. O le tulaga lea e feiloa'i ai le laina ma le li'o e ta'ua o le point of tangency. E le pei o laina e na'o le fe'avea'i o se li'o i ni tulaga se lua, o tangent e iai le uiga tulaga ese o tangent uma i se li'o e fa'asaga sa'o i le radius o le li'o i lena tulaga.
Fa'atusatusaga Lautele o Li'o ma Laina
A'o le'i talanoaina le fua fa'atatau o le laina tangent, e tatau ona iloa muamua le fua fa'atatau lautele o se li'o ma se laina i fa'amaopoopoga Cartesian.
Fa'atusatusaga o le Li'o
O se li'o e ogatotonu i le tulaga \((h, k)\) ma le radius \(r\) e iai le fua fa'atatau:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Fa'atusatusaga o le Laina
E mafai ona fa'aalia laina i le va'alele Cartesian i ni nai foliga, o se tasi o mea e sili ona taatele o le foliga o le slope-intercept:
\[ y = mx + c \]
lea o le \(m\) o le gradient (po'o le slope) o le laina ma le \(c\) o le intercept (cutter) e fa'ata'amilo i le y-axis.
Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o se Laina Tangent i se Li'o
E tele auala e mafai ona fa'aaogaina e fuafua ai le fua fa'atatau o se laina tangent i se li'o. O nisi nei o auala e sili ona taatele.
Metotia 1: Faʻaaogaina o Gradient ma Tangent Points
Afai tatou te iloa le tangent point \((x_1, y_1)\) i luga o se li'o e ogatotonu \((h, k)\), e mafai ona tatou fa'aogaina le meatotino fa'ata'atitia e fa'apea o le laina tangent e fa'asaga sa'o i le radius o le li'o i le tangent point. Afai o le gradient o le radius e ui atu i point \((h, k)\) ma le \((x_1, y_1)\) e:
\[ m_{radius} = \frac{y_1 – k}{x_1 – h} \]
Ona o le gradient o le laina tangent, lea e fa'asaga sa'o i le laina radius, e:
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k} \]
A iloa le gradient o le tangent line, e mafai loa ona tatou tusia le fua fa'atatau o le tangent line i le faiga o le slope-intercept e fa'aaoga ai le point \((x_1, y_1)\):
\[ y – y_1 = m_{tangent}(x – x_1) \]
Pe i le tulaga masani:
\[ y – y_1 = -\frac{x_1 – h}{y_1 – k}(x – x_1) \]
Metotia 2: Fa'aaogaina o le Suiga ma le Fa'ailoga Tagata
Mo le sailia o se tangent i se li'o ua iloa e fa'aaoga ai le metotia o le sui ma le discriminant, tatou te amata i le tusiaina o le fua fa'atatau o le li'o ma fa'apipi'i i totonu le fua fa'atatau lautele o le laina. O le fua fa'atatau lautele o se laina o le \( y = mx + c \). O le tu'ufa'atasia lea ma le fua fa'atatau o le li'o:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Sui le \( y \) i le fua fa'atatau o le li'o i le \( mx + c \):
\[ (x – h)^2 + (mx + c – k)^2 = r^2 \]
Ona fa'alauteleina lea o lenei fua fa'atatau i le fa'atulagaga masani o le quadratic \(Ax^2 + Bx + C = 0\). Mo se laina e fa'asino i le li'o, e tatau ona i ai le tali e tasi mo le \(x\), o lea e tatau ai ona tutusa le eseesega o le fua fa'atatau o le quadratic ma le zero. O le eseesega o le fua fa'atatau o le quadratic \(Ax^2 + Bx + C = 0\) e:
\[ D = B^2 – 4AC \]
Faatasi ai ma le \(D = 0\), e mafai ona tatou fuafua ia tau o le \(m\) ma le \(c\) e fa'asino ai le laina i le li'o.
Faʻataʻitaʻiga o Talosaga
Faataitaiga 1: Fuafuaina o le Faatusatusaga o se Laina Tangent
Faapea la o loo i ai sa tatou li'o ma le fua fa'atatau \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 25 \) ma tatou te fia iloa le fua fa'atatau o le laina tangent e ui atu i le tulaga \((-1, 5)\).
Muamua, tatou te siaki pe o iai le tulaga i luga o le li'o. Suitulaga \((x, y) = (-1, 5)\) i le fua fa'atatau o le li'o:
\[ (-1 – 3)^2 + (5 + 4)^2 = (-4)^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \]
Talu ai \(97 \neq 25\), e le o iai lenei tulaga i luga o le li'o. Peita'i, e mafai lava ona tatou maua se laina e ui atu i lenei tulaga ma e fa'asaga tonu i le radius i le tulaga o le tangency.
Muamua, tatou te maua le gradient o le radius e ui atu i le tulaga:
\[ m_{radius} = \frac{5 + 4}{-1 – 3} =\frac{9}{-4} = -\frac{9}{4} \]
O lea la, o le gradient o le laina tangent e:
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = \frac{4}{9} \]
O le fua fa'atatau o le laina tangent e fa'aaoga ai lenei gradient ma ui atu i le tulaga \((-1,5)\) o le:
\[ y – 5 = \frac{4}{9}(x + 1) \]
I'uga
O le fua fa'atatau o le tangent i se li'o o se manatu fa'avae tele o le geometric, ae e lautele lona fa'aaogaina i le tele o vaega eseese. I le malamalama i meatotino o tangents ma metotia mo le fuafuaina o a latou fua fa'atatau, e mafai ona tatou fa'aogaina lenei manatu e foia ai le tele o fa'afitauli i le matematika ma le saienisi.
O le malamalama i li'o ma tapula'a e tatala ai fo'i ni malamalamaga lautele i le atina'eina o le saienisi, aemaise lava i le matematika fa'ata'ita'i. E ala i se auala fa'atulagaina, e mafai ona tatou fa'afeso'ota'i elemene eseese i le vateatea e lua-dimensional, ma fa'amalosia ai lo tatou malamalama i mea taua fa'ata'ita'i e mafai ona avea o se fa'avae mo nisi su'esu'ega i le geometry ma le au'ili'iliga fa'ale-spatial.
