Fa'aaogaina o Fua Fa'atatau Fa'atele
O le fua fa'atatau fa'atekonolosi o se manatu fa'amatematika e masani ona aliali mai i le olaga i aso faisoo, e ui lava tatou te le o iloaina i taimi uma. A tatou talanoa e uiga i le tuputupu a'e o le faitau aofa'i, tului fa'aopoopo i luga o teugatupe fa'asao, le salalau o siama, le pala o mea fa'avevela, ma e o'o lava i le tuputupu a'e o tagata fa'aoga talosaga numera, o nei mea uma e mafai ona fa'ata'ita'iina e fa'aaoga ai se mamanu tutusa: suiga e "fa'ateleina" i le aluga o taimi. O lenei mamanu o le uiga autu lea o fa'atekonolosi. O lenei tusiga o le a talanoaina ai le fa'auigaga o le fua fa'atatau fa'atekonolosi, lona foliga lautele, le fa'aogaina, fa'atasi ai ma fa'ata'ita'iga o le fa'aoga ma fautuaga mo le 'alofia o mea sese o le fa'atusatusaga.
1. O le ā le fa'atelefoni?
I se faaupuga faigofie, o le fa'ateleina o se ituaiga o fuafuaga e aofia ai malosiaga. Afai tatou te tusia le \(a^n\), ona ta'ua lea o le \(a\) o le fa'avae ma le \(n\) o le fa'ateleina po'o le malosiaga. O se fa'ata'ita'iga faigofie: \(2^3 = 8\), o lona uiga o le 2 ua fa'ateleina ia te ia lava fa'atolu: \(2 \times 2 \times 2\).
Peita'i, i le tulaga o le fa'ata'ita'iga, o se "fua fa'atatau fa'asolo" e masani ona fa'asino i se galuega faatino e fa'ateleina pe fa'aitiitia lona taua i se vaega tumau i se vaitaimi tu'uina atu. Mo se fa'ata'ita'iga, o se numera e fa'ateleina pea i le 10% i tausaga ta'itasi o lona uiga o lona taua e fa'ateleina i le 1,10 i tausaga ta'itasi. O se mamanu fa'asolo lenei—e le o fa'ateleina i se aofa'iga tumau, ae i se pasene tumau.
2. Fa'atulagaga lautele o le fua fa'atatau fa'atelevave
E lua ituaiga o fua fa'atatau fa'atelevave e masani ona fa'aaogaina:
1) Tuputupu/pala fa'apitoa (e fa'atatau i se vaitaimi patino)
\[
N(t) = N_0 \times a^t
\]
Fa'amatalaga:
– \(N(t)\): taua i le taimi \(t\)
– \(N_0\): tau muamua
– \(a\): fa'atele mo vaitaimi ta'itasi (e.g. 1,10 mo se fa'aopoopoga e 10%; 0,90 mo se fa'aitiitiga e 10%)
– \(t\): aofaʻi o vaitaimi (e.g. tausaga, masina, aso)
2) Tuputupu aʻe/pala faifai pea (faʻataʻitaʻiga fua faʻatatau faifai pea)
\[
N(t) = N_0 \times e^{rt}
\]
Fa'amatalaga:
– \(e\) o le numera a Euler (pe tusa o le 2,71828)
– \(r\) fua faatatau o le tuputupu aʻe faifai pea (e mafai ona lelei mo le tuputupu aʻe, leaga mo le faʻaitiitia)
– taimi \(t\)
I le tele o mataupu fa'alea'oa'oga po'o fa'aoga faigofie, e lava le fa'aogaina o le foliga tu'ueseese \(N(t)=N_0 a^t\). O le foliga fa'aauau e masani ona fa'aogaina i au'ili'iliga loloto, mo se fa'ata'ita'iga i le calculus, fisiki, po'o le fa'ata'ita'iga o fa'ama'i pipisi.
3. Laasaga e faʻaaoga ai le fua faʻatatau faʻatelevave
Ina ia ʻalofia le fenumiai, mulimuli i laasaga nei pe a galue i faʻafitauli faʻatelevave:
1) Fuafua le tau muamua o le \(N_0\)
O le aofaʻi lea i le amataga o le matauga (tausaga 1, aso 0, ma isi mea faapena).
2) Fa'ailoa pe o se tuputupu a'e pe o se pala.
– Tuputupu aʻe: e faʻateleina le tau (vaega \(a > 1\) poʻo le \(r>0\))
– Pala: e fa'aitiitia le tau (fuafuaga \(0
5) Fuafua le iʻuga Faaaoga se calculator pe afai e tele le exponent pe aofia ai ni tesimale. 4. Faʻataʻitaʻiga o le faʻaogaina o le tuputupu aʻe faʻasolosolo Faʻataʻitaʻiga 1: Tului faigofie faʻatasi E sefe e se tagata le Rp. 5.000.000 ma se fua faatatau o tului e 8% i le tausaga, e totogi le tului ma faʻaopoopo i le paleni i le faʻaiuga o tausaga taʻitasi (tului faʻatasi). O le a le paleni pe a uma le 5 tausaga? Tuuina atu: - \(N_0 = 5.000.000\) - \(a = 1 + 0,08 = 1,08\) - \(t = 5\) Fua Fa'atatau: \[ N(5) = 5.000.000 \times (1,08)^5 \] Tau \((1,08)^5 \approx 1,4693\) O lea la: \[ N(5) \approx 5.000.000 \times 1,4693 = 7.346.500 \] Paleni e tusa ma le Rp7.346.500 (e fuafua i le fa'ata'amilomiloina). Fa'ata'ita'iga 2: Tuputupu a'e o tagata fa'aoga o se talosaga E 20.000 tagata fa'aoga o se talosaga. E fa'atupula'ia le aofa'i o tagata fa'aoga i le 25% i le masina. E to'afia tagata fa'aoga o le a iai pe a mavae le 6 masina? - \(N_0 = 20.000\) - \(a = 1,25\) - \(t = 6\) \[ N(6) = 20.000 \times 1,25^6 \] Talu ai \(1,25^6 \approx 3,8147\), ona: \[ N(6) \approx 20.000 \times 3,8147 = 76.294 \] O lea la, o tagata faʻaoga e tusa ma le 76.294 pe a mavae le 6 masina. 5. Faʻataʻitaʻiga o le faʻaaogaina o le exponential decay Faʻataʻitaʻiga 3: Faʻaititia o le tau o oloa (faʻaititia o le tau) O se uila afi e tau i le Rp. 18.000.000 e oʻo i le faʻaititia o le tau i le 12% i le tausaga. O le a lona tau pe a mavae le 4 tausaga? - \(N_0 = 18.000.000\) - fa'aitiitia i le 12% → \(a = 0,88\) - \(t = 4\) \[ N(4) = 18.000.000 \times 0,88^4 \] Talu ai \(0,88^4 \approx 0,5997\), ona: \[ N(4) \approx 18.000.000 \times 0,5997 = 10.794.600 \] O le tau e tusa ma le Rp10.794.600. Fa'ata'ita'iga 4: Pala o se mea Fa'apea o se mea e fa'aitiitia i le 5% i itula ta'itasi. Afai na muamua 200 kalama, o le a le tele o totoe pe a mavae le 10 itula?
- \(N_0=200\) - \(a=0,95\) - \(t=10\) \[ N(10)=200 \times 0,95^{10} \] Talu mai \(0,95^{10} \approx 0,5987\): \[ N(10)\approx 200 \times 0,5987 = 119,74 \] O totoe pe tusa ma le 119,74 kalama. 6. Fuafuaina o le taimi (sailia o le \(t\)) i logarithm O nisi taimi o le fesili e le o le tau mulimuli, ae o le "o le a le umi e alu ai". Mo lena mea, tatou te manaʻomia logarithm. Afai: \[ N(t) = N_0 a^t \] ona: \[ \frac{N(t)}{N_0} = a^t \] Ave le loga: \[ t = \frac{\log\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}{\log(a)} \] Fa'ata'ita'iga vave: E fa'ateleina tupe teu i le 10% i le tausaga. O afea e faaluaina ai? - \(a=1,10\) - \(\frac{N(t)}{N_0}=2\) \[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,10)} \approx \frac{0,3010}{0,0414} \approx 7,27 \] O lea la e tusa ma le 7,27 tausaga. 7. Mea sese masani pe a faʻaaogaina fua faʻatatau faʻatele 1) Faʻaliliu sese o pasene i vaega o le 10% nai lo le 0,10 o le faʻatele autu, ae i le 1,10 mo le tuputupu aʻe. 2) Iunite taimi sese Afai o le pasene e taʻitasi i le masina, aua le faʻaaogaina le \(t\) i tausaga e aunoa ma le liua. 3) Faʻaseseina o le tuputupu aʻe faʻatele mo le tuputupu aʻe laina E faʻaopoopo e le Linear se "aofaʻiga tumau," mo se faʻataʻitaʻiga, +5 i vaitaimi taʻitasi. E faʻaopoopo e le Exponential se "pasene tumau," o lea e faʻateleina ai le faʻaopoopoga i le aluga o taimi. 4) Faʻataʻamilomilo vave tele Taumafai e sefe ni numera i le ogatotonu o le faʻatusatusaga, faʻataʻamilomilo i latou i le faʻaiʻuga. 8. Faʻaiʻuga O le faʻaaogaina o fua faʻatatau faʻatele e fesoasoani ia i tatou e malamalama ai i mea tutupu e suia faʻatele i le aluga o taimi. I le iloaina o le tau muamua \(N_0\), fuafuaina o le tuputupu aʻe/pala o le \(a\), ma le taimi \(t\), e mafai ona tatou vavaloina tau i le lumanaʻi pe fuafua pe o le a le umi e alu ai e ausia ai se sini. E taua tele lenei fua faʻatatau i le tamaoaiga, saienisi, tekinolosi, ma le tele o vaega o le olaga moni. O le ki autū o le tutusa o iunite ma le sa'o o le liua o pasene i mea fa'atatau. A uma ona e malamalama i mea fa'avae, o le a faigofie ma malamalama i fa'afitauli fa'atelevave. Afai e te mana'o ai, e mafai ona ou fa'aopoopoina ni fa'afitauli fa'ata'ita'i ma fa'amatalaga, pe fetu'una'i lenei tusiga mo tamaiti a'oga tulagalua, ogatotonu, po'o le maualuga.
