Fa'atulagaga Fa'a-Kanona o le Fa'atusatusaga Fa'atafafā
O fa'atusatusaga fa'atafafā o se tasi o mataupu sili ona tāua i le algebra, e masani ona aliali mai i le matematika a'oga ma fa'aoga i le saienisi, tamaoaiga, ma le inisinia. I se tulaga lautele, o se fa'atusatusaga fa'atafafā o se fa'atusatusaga polynomial tikeri lona lua e mafai ona tusia fa'apenei:
\[
ax^2 + bx + c = 0
\]
lea o le \(a \neq 0\), ma le \(a\), \(b\), ma le \(c\) o numera moni (po'o numera faigata, e fuafua i le tulaga). E ui o lenei fa'atulagaga lautele e masani ona fa'aofiina, ae o lo'o i ai se isi fa'atulagaga e matua aoga lava mo le malamalama i meatotino o fa'atusatusaga fa'atafafā, o le fa'atulagaga masani lea. O le fa'atulagaga masani e fesoasoani ia i tatou e "faitau" uiga o se parabola—e pei o le vertex, tau maualuga/maualalo, ma le axis of symmetry—i se taimi vave ma manino.
O le ā le fa'atulagaga fa'a-kanonika?
O le fa'atulagaga masani (e masani ona ta'ua fo'i o le fa'atulagaga pito i luga) o se galuega fa'atafafā e:
\[
y = a(xh)^2 + k
\]
faatasi ai ma:
– \(a\) e fuafua ai le itu ma le “pi’o” o le parabola,
– \((h, k)\) o fa'amaopoopoga ia o le tumutumu o le parabola.
Afai o le mea o loʻo talanoaina o se faʻatusatusaga faʻatafafā (ae le o se galuega faatino), e mafai ona tusia le faʻatulagaga:
\[
a(xh)^2 + k = 0
\]
pe fa'aliliuina i le foliga o le galuega pe a mana'omia. O lenei foliga e ta'ua o le canonical aua e maua ai le fa'atusa sili ona fa'amatalaga o le foliga o le kalafi ma le amioga o tau o le galuega.
Aiseā e tāua ai le fa'atulagaga fa'a-kanonika?
E tele mafuaʻaga e aogā tele ai faʻatulagaga faʻa-kanonika:
1. Fuafua le tumutumuga faigofie
I le fa'atulagaga lautele \(ax^2+bx+c\), e tatau ona tatou fuafuaina muamua le \(x_p = -\frac{b}{2a}\) e su'e ai le tumutumu. Peita'i, i le fa'atulagaga masani \(a(xh)^2+k\), e va'aia vave lava le tumutumu, o le \((h, k)\).
2. Ia iloa le tau maualuga/maualalo
Afai \(a>0\), e tatala i luga le parabola ina ia avea le tumutumu ma tau maualalo. Afai \(a<0\), e tatala i lalo le parabola ina ia avea le tumutumu ma tau maualuga. O le tau pito i luga o le \(k\). 3. Faafaigofieina ai le tusiaina o kalafi I le iloaina o le tumutumu ma le itu o le tatalaina o le parabola, e mafai ona tatou vave tusia kalafi, e aofia ai le fuafuaina o le axis of symmetry \(x=h\). 4. Fesoasoani e foia ni faʻatusatusaga quadratic I nisi tulaga, o le foia o le \(ax^2+bx+c=0\) e vave pe afai e muamua liua i se foliga sikuea atoatoa e ala i le foliga masani. Auala e sui ai le foliga lautele i le foliga masani O le suia o le \(ax^2+bx+c\) i le \(a(xh)^2+k\) e faia e ala i le metotia o le faamaeaina o le sikuea (faaumaina o le sikuea). O laasaga nei e pei ona taua i lalo: Tuuina atu: \[ y = ax^2 + bx + c \] Laasaga 1: Fa'avasega \(a\) mai fa'aupuga o lo'o iai le \(x\) \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \] Laasaga 2: Fa'aopoopo ma to'ese numera tutusa i totonu o fa'apuipui e fai ai se sikuea atoatoa Ina ia faia le \(x^2 + \frac{b}{a}x\) i le foliga \((x+p)^2\), tatou te fa'aaogaina: \[ p = \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a} = \frac{b}{2a} \] Fa'aopoopo ma to'ese \(p^2\): \[ y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] Laasaga 3: Vaevae i se sikuea atoatoa \[ y = a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c \] Laasaga 4: Fa'asalalau \(a\) ma fa'afaigofie \[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] Auā: \[ a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = a\cdot \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a} \] Ona: \[ y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] O le fa'atulagaga masani lea ma: \[ h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a} \] Ia mātau o le \(h\) e tutusa ma le fua fa'atatau mo le axis of symmetry, ae o le \(k\) e tu'uina atu le tau o le galuega faatino i le vertex. Fa'ata'ita'iga o le liua i le fa'atulagaga masani Mo se fa'ata'ita'iga: \[ y = 2x^2 - 8x + 3 \] La'asaga 1: Fa'atusatusa le 2 mai ulua'i vaega e lua \[ y = 2(x^2 - 4x) + 3 \] La'asaga 2: Fa'atumu le sikuea i totonu o fa'aparentesis Ave le afa o le \(-4\), o le \(-2\), ona fa'atafafā lea e maua ai le \(4\): \[ y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 \] La'asaga 3: Fa'atulagaga atoatoa o le sikuea \[ y = 2((x-2)^2 - 4) + 3 \] La'asaga 4: Fa'afaigofie \[ y = 2(x-2)^2 - 8 + 3 \] \[ y = 2(x-2)^2 - 5 \] O lea la, o le fa'atulagaga masani o le: \[ y = 2(x-2)^2 - 5 \] Mai iinei ua tatou iloa vave lava le tumutumu o le \((2, -5)\), o le axis of symmetry e \(x=2\), o le parabola e tatala i luga (ona \(a=2>0\)), ma o le tau maualalo o le function e \(-5\).
O le sootaga i le va o le fa'atulagaga masani ma a'a o le fua fa'atatau
Afai tatou te manaʻo e suʻe aʻa o se faʻatusatusaga faʻatafafā:
\[
ax^2+bx+c=0
\]
E mafai ona tatou faaliliuina i le tulaga masani:
\[
a(xh)^2 + k = 0
\]
O lea la:
\[
a(xh)^2 = -k
\]
\[
(xh)^2 = -\frac{k}{a}
\]
Ona:
\[
xh = \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}
\]
\[
x = h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}
\]
Mai lenei mea e mafai ona iloa ai o loʻo iai se aʻa moni pe afai:
\[
-\frac{k}{a} \ge 0
\]
lea e ogatasi ma le manatu o le fa'ailoga. O le fa'ailoga \(D = b^2-4ac\) e fuafua ai pe lua a'a moni, tasi le a'a masaga, pe leai ni a'a moni. I le tulaga masani, o lenei tulaga e tula'i mai fa'alenatura e ala i le fa'ailoga o le fa'aaliga i totonu o le a'a.
Fa'atulagaga masani ma le malamalama i kalafi
O le kalafa o se galuega fa'atafafā o se parabola. Fa'atasi ai ma le fa'atulagaga masani:
\[
y = a(xh)^2 + k
\]
e mafai ona tatou malamalama i le suiga o le parabola masani \(y=x^2\):
– O le \(h\) e fa'ase'e le kalafi i le taumatau (pe afai \(h>0\)) po'o le agavale (pe afai \(h<0\)), - \(k\) e fa'ase'e le kalafi i luga (pe afai \(k>0\)) po'o le lalo (pe afai \(k<0\)), - \(a\) e fa'aloaloa pe fa'apipi'i le parabola ma fuafua ai le itu o le amataga (i luga pe afai \(a>0\), i lalo pe afai \(a<0\)). O le mea lea, o le fa'atulagaga masani e le gata o se meafaigaluega fa'atatau, ae o se meafaigaluega va'aia fo'i mo le "faitau" o le amioga o le galuega faatino. Fa'ai'uga O le fa'atulagaga masani o se fa'atusatusaga fa'atafafā po'o se galuega faatino, e ta'ua o le \(y = a(xh)^2 + k\), o se fa'atusa e matua'i aoga tele aua e fa'aalia vave ai le tumutumu o le \((h,k)\), le axis of symmetry, ma le tau maualuga po'o le tau maualalo. O lenei fa'atulagaga e maua mai le fa'atulagaga lautele \(ax^2+bx+c\) e ala i le metotia o le fa'amae'aina o le sikuea. E ese mai i le fesoasoani i le fa'ata'ita'iina o parabolas, o le fa'atulagaga fa'amaufa'ailoga e fa'afaigofieina ai fo'i le au'ili'iliga o a'a ma meatotino o fa'atusatusaga fa'atafafā. Mo lenei mafua'aga, o le malamalama i le fa'atulagaga fa'amaufa'ailoga o se la'asaga taua i le a'oa'oina o le algebra ma le fa'aogaina o fa'atusatusaga fa'atafafā i matā'upu eseese.
