Fesili Fa'ata'ita'i e Talanoaina ai le Suiga i le Va'alele Cartesian
O suiga i le va'alele Cartesian o se mataupu taua i le matematika, aemaise lava le geometry. O nei suiga e aofia ai galuega eseese e pei o le fa'aliliuga, fa'ata'ita'iga, fa'ata'amilosaga, ma le fa'alauteleina, lea e fa'amoemoe e fa'agaoioi pe suia le foliga o se mea i se va'alele e lua-vaega. O lenei tusiga o le a iloiloina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaina ai e feso'ota'i ma suiga i le va'alele Cartesian.
Ituaiga o Suiga
A o le’i o tatou o atu i le fa’ata’ita’iga o le fa’afitauli, se’i o tatou toe iloilo muamua ituaiga o suiga nei:
1. Faaliliuga (Suiga)
O le fa'aliliuga o le si'itia lea o se tulaga po'o se mea i totonu o se va'alele i se mamao patino i se itu patino. E mafai ona fa'amatalaina le fa'aliliuga e fa'apea:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
lea o le \(a\) ma le \(b\) o mamao o le si'itia fa'alava ma le si'itia fa'atū.
2. Mafaufauga Loloto
O le atagia o le atagia lea o se mea po o se mea faitino i luga o se laina, pe o le laina-x, laina-y, po o se isi laina. Mo se faʻataʻitaʻiga, o le atagia i luga o le laina-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Fa'ata'amilosaga (Spin)
O le fa'ata'amilosaga o le fa'ata'amilosaga lea o se mea po'o se mea e fa'ata'amilo i se mea tutotonu i se tulimanu patino. O se fa'ata'amilosaga fa'asaga i le uati i se tulimanu \(\theta\) e mafai ona fa'aalia e pei o:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Fa'alauteleina (Fa'ateleina)
O le fa'alauteleina o le suiga lea o le telē o se mea e ala i se fua fa'atatau patino. Afai o le fua fa'atatau o le \(k\), e mafai ona fa'aalia le fa'alauteleina e pei ona taua i lalo:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fesili 1: Faaliliuga
Fesili:
Faatino se faaliliuga i le tulaga \(A(2, 3)\) faatasi ai ma se suiga o le 5 iunite i le taumatau ma le 4 iunite i luga.
Talanoaga:
O le fa'aliliuina o iunite \(5\) i le taumatau o lona uiga o le fa'ateleina o le x-coordinate i le \(5\). O le fa'amatalaga "4 iunite i luga" o lona uiga o le fa'ateleina o le y-coordinate i le \(4\). O le i'uga o le fa'aliliuga o le:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
O lea la, o le tulaga \(A(2, 3)\) pe a uma le faaliliuga e avea ma:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
O lea la, o le tulaga \(A(2, 3)\) pe a uma le faaliliuga o le \(A'(7, 7)\).
Fesili 2: Mafaufauga Loloto
Fesili:
Fa'ata'ita'i le tulaga \(B(-4, 7)\) e fa'atatau i le y-axis.
Talanoaga:
O le toe atagia i luga o le y-axis e suia ai le faamaopoopoga-x i le leaga o le faamaopoopoga-x muamua, ae o loo tumau pea le faamaopoopoga-y i le tulaga e tasi.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
O lea la, o le tulaga \(B(-4, 7)\) pe a uma ona toe mafaufau i ai e avea ma:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
O lea la, o le tulaga \(B(-4, 7)\) pe a uma ona toe mafaufau i le y-axis o le \(B'(4, 7)\).
Fesili 3: Fa'ata'amilosaga
Fesili:
Fa'ata'amilo le tulaga \(C(1, 2)\) i le \(90^\circ\) i le itu tauagavale ma le ogatotonu i le amataga \((0, 0)\).
Talanoaga:
O le fa'ata'amilosaga o le \(90^\circ\) i le itu tauagavale e mafai ona fa'aalia e pei ona fa'apea:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
O lea la, o le tulaga \(C(1, 2)\) pe a uma le fa'ata'amilosaga e avea ma:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
O lea la, o le tulaga \(C(1, 2)\) pe a uma ona fa'ata'amilomilo le \(90^\circ\) i le itu tauagavale e \(C'(-2, 1)\).
Fesili 4: Fa'alauteleina
Fesili:
Fa'alautele le tulaga \(D(3, 4)\) i se fua fa'atatau \(k = 2\).
Talanoaga:
O le fa'alauteleina ma le fua fa'atatau o le \(2\) o lona uiga o le fa'ateleina o fa'amaopoopoga uma e lua i le \(2\).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
O lea la, o le tulaga \(D(3, 4)\) pe a uma ona faalauteleina e avea ma:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
O lea la, o le tulaga \(D(3, 4)\) pe a uma ona fa'alauteleina ma le scale factor \(2\) o le \(D'(6, 8)\).
Fesili 5: Tuufaatasiga o Suiga
Fesili:
Mafaufau i le x-axis ona fa'alauteleina lea i se fua fa'atatau \(k = 0.5\) i le tulaga \(E(8, -6)\).
Talanoaga:
O le laasaga muamua o le mafaufau lea e uiga i le x-axis:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
O le laasaga lona lua o le faia lea o se dilation ma se scale factor o le \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
O lea la, o le tulaga \(E(8, -6)\) pe a uma ona toe atagia e uiga i le x-axis ma le faalauteleina e ala i le scale factor \(0.5\) o le \(E'(4, 3)\).
Fesili 6: Suiga i le Liliu ma le Faaliliuga
Fesili:
Fa'ata'amilo le tulaga \(F(-3, 4)\) i le \(180^\circ\) i le itu tauagavale, ona fa'aliliu lea o le i'uga i le vector \((2, -1)\).
Talanoaga:
O le laasaga muamua o le fa'ata'amilomilo i le \(180^\circ\) i le itu tauagavale:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
O le laasaga lona lua o le faia lea o se faaliliuga faatasi ai ma le vector \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
O lea la, o le tulaga \(F(-3, 4)\) pe a uma le fa'ata'amilosaga \(180^\circ\) ma le fa'aliliuga e le vector \((2, -1)\) o le \(F'(5, -5)\).
I'uga
O suiga i le va'alele Cartesian o se manatu taua i le geometry, e aofia ai galuega eseese e pei o le fa'aliliuga, fa'ata'ita'iga, fa'ata'amilosaga, ma le fa'alauteleina. I le malamalama i le auala e galue ai ituaiga ta'itasi o suiga, e mafai ona tatou suia faigofie le tulaga po'o le foliga o se mea i le va'alele. E ala i fa'ata'ita'iga o lo'o i luga, e mafai ona tatou va'aia ai fa'aoga aoga o suiga eseese ma le auala e mafai ona tu'ufa'atasia ai ina ia ausia ai ni suiga e sili atu ona faigata. E fa'amoemoe o lenei tusiga ua fesoasoani i le malamalama i suiga i le va'alele Cartesian.
