Faʻataʻitaʻiga o se Fesili Talanoaga i le Faʻatusatusaga o se Liʻo
O le fua fa'atatau o se li'o o se mataupu taua i le geometry fa'ata'ita'i. O le malamalama lelei i le fua fa'atatau o se li'o e matua'i aoga lava, e le gata i le matematika ae fa'apea fo'i i le tele o fa'aoga fa'ainisinia ma fa'asaienisi. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fua fa'atatau o se li'o ma a latou fofo. O le sini ia tu'uina atu se aotelega manino ma atoatoa o le auala e foia ai fa'afitauli e aofia ai fua fa'atatau o se li'o.
Fa'atusatusaga Aoao o se Li'o
O le fua fa'atatau masani o se li'o i fa'amaopoopoga Cartesian o le:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
O fea:
– \( (a, b) \) o fa'amaopoopoga ia o le ogatotonu o le li'o.
– o le \( r \) o le radius o le li'o.
Afai o le ogatotonu o le li'o o lo'o i le tulaga \( (0, 0) \), o le fua fa'atatau o le li'o o le a fa'apenei:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Ia, seʻi o tatou talanoaina nisi o faʻataʻitaʻiga o fesili ma a latou tali.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Fesili: Fuafua le fua fa'atatau o se li'o o lona ogatotonu e iai i le tulaga (3, -2) ma e 5 lona radius.
Tali:
Faaaoga le fua fa'atatau lautele mo le fua fa'atatau o se li'o:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Suitulaga ia tau \( a = 3 \), \( b = -2 \), ma le \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le li'o e fa'apea:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Fesili: Fuafua le fua fa'atatau o se li'o o lona ogatotonu e i le amataga (0, 0) ma e 7 lona radius.
Tali:
Talu ai o le ogatotonu o le liʻo o loʻo i le amataga, e mafai ona tatou faʻaaogaina le fua faʻatatau faigofie:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Sui le tau \( r = 7 \):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le li'o e fa'apea:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Fesili: Fuafua le fua fa'atatau o se li'o o lona ogatotonu e iai i le tulaga (4, -5) ma pa'i atu i le Y axis.
Tali:
O le li'o e fa'asaga i le Y-axis o lona uiga o le mamao mai le ogatotonu o le li'o i le Y-axis e tutusa ma lona radius. O lenei mamao o le tau atoatoa lea o le X-coordinate o le ogatotonu o le li'o. O lea la, o le radius e 4.
Faaaoga le fua fa'atatau lautele mo le fua fa'atatau o se li'o:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Suitulaga ia tau \( a = 4 \), \( b = -5 \), ma le \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le li'o e fa'apea:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Fesili: O se li'o e iai le fua fa'atatau \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Fuafua le ogatotonu ma le radius o le li'o.
Tali:
Mo le foia o lenei fua fa'atatau, e mana'omia ona tatou liua i le tulaga masani \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). O la'asaga e fa'amae'a ai e fa'apea:
1. Fa'aputuga ma le fo'ia o sikuea atoatoa:
O le fua fa'atatau muamua e fa'apea:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Vaega \( x \) ma le \( y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Foia le sikuea atoatoa:
Mo \( x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
Mo \( y^2 + 4y \):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Fa'aopoopo le 9 ma le 4 i itu uma e lua o le fua fa'atatau:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o se li'o i le tulaga masani e fa'apea:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mai iinei, e mafai ona tatou vaʻaia o le ogatotonu o le liʻo o le \( (3, -2) \) ma o le radius o le \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 5
Fesili: Fuafua le fua fa'atatau o le li'o e ui atu i tulaga (2, 3) ma le (4, 5), ma o lona ogatotonu o lo'o i luga o le laina x = 3.
Tali:
Mai le fesili, ua tatou iloa o le ogatotonu o le li'o o le (3, b). E ui atu fo'i le li'o i ni vaega se lua ua iloa. Talu ai ona ui atu le li'o i le (2, 3), o le mamao mai le ogatotonu i lenei vaega o le radius lea.
O le fua fa'atatau o se li'o e fa'apea:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ponai sui (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Ponai sui (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Mai fua fa'atatau e lua, ua tatou iloa (3 – b)^2 = (5 – b)^2. O lea la:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Afai \( 3 – b = 5 – b \), e le mafai ona moni le iʻuga. O lea la:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
Faatasi ai ma le b = 4, o le fua faatatau o le li'o e faapea:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Ae ui i lea, e mafai ona tatou fuafuaina le radius r mai le mamao i le va o le ogatotonu ma le tulaga (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
O le fua fa'atatau o le li'o e fa'apea:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
I'uga
O le malamalama i le fua fa'atatau o se li'o e mafai ona fa'afaigofie ai le fo'ia o le tele o fa'afitauli tau matematika. I tulaga ta'itasi, e taua tele le fa'ailoaina o le ogatotonu ma le radius. E fa'amoemoe o nei fa'afitauli fa'ata'ita'i ma a latou fa'amatalaga e maua ai se fa'amanatuga ma fesoasoani ia te oe e a'oa'o ai le fua fa'atatau o se li'o. O le fa'ata'ita'i e fa'amalieina ai le matematika, o lea aua le fa'atuai e fa'ata'ita'i ni fa'afitauli eseese e fa'aleleia atili ai ou tomai.
