Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Fua Fa'atatau o le Trigonometric
O le Trigonometry o se lala o le matematika e feagai ma le sootaga i le va o le umi ma tulimanu i tafatolu. E taua tele le sao o le Trigonometric ratios i vaega eseese e pei o le inisinia, fisiki, astronomy, ma e oo lava i le olaga i aso faisoo. O lenei tusiga o le a iloiloina ai ni nai faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma a latou fofo e fesoasoani ia te oe e malamalama ai i manatu autu o le trigonometric ratios.
Fua Fa'atusatusa o Trigonometric i Triangles Taumatau
Se'i o tatou amata i le malamalama i fua fa'atatau autū i se tafatolu taumatau. O nei fua fa'atatau e ta'ua o le sine (sin), cosine (cos), ma le tangent (tan). I se tafatolu taumatau, e tolu itu taua e mana'omia ona tatou iloa:
1. Itu Faafeagai: O le itu e faafeagai tonu ma le tulimanu o loo tatou mafaufau i ai.
2. Itu e Tutusa: O le itu e tu i tafatafa o le tulimanu o loʻo tatou mafaufau i ai.
3. Hypotenuse: O le itu aupito umi o se tafatolu taumatau e fa'afeagai ma le tulimanu taumatau.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
I le tuuina atu o se tafatolu taumatau ma le tulimanu θ, lea o le itu e faafeagai ma le tulimanu θ e 3 iunite le umi, o le itu e lata ane e 4 iunite le umi, ma le hypotenuse e 5 iunite le umi. Saili ia tau o le sin, cos, ma le tan o le tulimanu θ.
Tali:
Mo le mauaina o le sine, cosine, ma le tangent o le tulimanu θ, matou te faʻaaogaina fua faʻatatau autu o le trigonometric ratio:
– Sine (agasala) θ = Itu i luma / Hypotenuse
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Cosine (cos) θ = Itu i le Itu / Hypotenuse
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Tangent (lanu samasama) θ = Itu Luma / Itu
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Sootaga Trigonometric o Isi Tulimanu
E mafai fo'i ona fa'aoga fua fa'atatau o le trigonometric i isi tulimanu i ituaiga eseese o tafatolu, e aofia ai tafatolu tutusa ma tafatolu masani. E taua le malamalama i tulafono fa'avae e pei o le Tulafono Sine ma le Tulafono Cosine, lea e fa'aoga i tafatolu e le o ni tafatolu sa'o.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Tuuina atu se tafatolu ABC ma ona itu a = 7 cm, b = 24 cm, ma le tulimanu C = 90°. Saili le umi o le itu c ma le tau o tulimanu A ma le B.
Tali:
Talu ai o le tulimanu C o se tulimanu sa'o, e mafai ona tatou fa'aogaina le Pythagorean Theorem e su'e ai le umi o le itu c (le hypotenuse):
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]
O le isi mea, ina ia fuafua ai le tau o tulimanu A ma le B, e mafai ona tatou faʻaaogaina fua faʻatatau faavae o le trigonometric.
Mo le tulimanu A, matou te faʻaaogaina le cosine:
\[ \cos A = \frac{\text{itu e lata ane}}{\text{hypotenuse}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Mo le tulimanu B, matou te faʻaaogaina le sine:
\[ \sin B = \frac{\text{itu i luma}}{\text{hypotenuse}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Auā i totonu o se tafatolu sa'o e tatau ona 90° le aofa'i o tulimanu e ese mai le tulimanu sa'o:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Tulafono Sine
O le tulafono sine ua fa'amatalaina e pei ona taua i lalo:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Tuuina atu se tafatolu ma le itu a = 8 cm, le itu b = 15 cm, ma le tulimanu C = 60°. Saili le tulimanu A ma le umi o le itu c e faʻaaoga ai le Tulafono o Sines.
Tali:
Muamua, fa'aaoga le Tulafono o Sines e su'e ai se tasi o isi tulimanu (mo se fa'ata'ita'iga, tulimanu A):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
E manaʻomia ona tatou fuafuaina muamua le tau o le c. Talu ai o le tulimanu C e 60°, e mafai ona tatou faʻaaogaina le Tulafono o le Cosine:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]
O lea la, e mafai ona tatou maua le tulimanu A:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Talu ai \(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
I le iuga, faʻaaogaina le inverse sine:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]
Tulafono o le Cosine
O le tulafono o le cosine e faapea:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Tuuina atu se tafatolu e 9 cm le itu a, 12 cm le itu b, ma le itu c. Saili le tulimanu C.
Tali:
Mo le sailia o le tulimanu C, matou te faʻaaogaina le Tulafono Cosine:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Mai iinei ua tatou iloa ai o le tulimanu C e 90° auā o le cos 90° = 0.
O nisi nei o faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli e fesoasoani ia te oe e malamalama ai i fua faʻatatau o le trigonometric. O le faʻaauau pea ona faʻataʻitaʻi i le tele o faʻafitauli o le a fesoasoani tele e faʻamalosia ai lou malamalama i nei manatu. Matou te faʻamoemoe o lenei tusiga ua fesoasoani i lau aʻoaʻoga!
