Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o Talosaga Fa'atasi
O le tu'ufa'atasiga o se manatu fa'avae i le calculus e tele ona fa'aoga i vaega eseese o le saienisi, e pei o le fisiki, tamaoaiga, paiolo, ma le inisinia. E fa'aaogaina tu'ufa'atasiga e fuafua ai le eria i lalo o se pi'o, le voluma o se mea ma'a, galuega, mamafa, ma isi mea. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'aoga tu'ufa'atasiga, sosoo ai ma fa'amatalaga auiliili o le auala e foia ai.
1. Fuafuaina o le Eria i Lalo o le Pi'o
O se tasi o fa'aoga masani o integrals o le fuafuaina lea o le eria i lalo o le pi'o o se galuega faatino i luga o se va'aiga ua tu'uina atu. Fa'apea tatou te manana'o e su'e le eria o le itulagi o lo'o fa'atapula'aina e le pi'o \(y = x^2\) ma le \(x\) axis mai \(x = 0\) i le \(x = 2\).
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
Fuafua le eria i lalo o le pi'o \(y = x^2\) mai \(x = 0\) i \(x = 2\).
Talanoaga:
Ina ia maua le eria i lalo o le pi'o \(y = x^2\) mai \(x = 0\) i \(x = 2\), e mana'omia ona tatou fuafuaina le integral mautinoa o le galuega faatino:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Laasaga 1: Fuafua le integral o le \(x^2\).
Ia matau o le integral o le \(x^2\) e faapea:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Laasaga 2: Fa'aaoga le tapula'a fa'atasi \(0\) i le \(2\).
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Laasaga 3: Fuafua le tapula'a.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
O lea la, o le eria i lalo o le pi'o \(y = x^2\) mai \(x = 0\) i le \(x = 2\) o \( \frac{8}{3} \) iunite o le eria.
2. Fuafuaina o le Voluma o Mea e Feliuliuai
E fa'aaogaina fo'i integrals e fuafua ai le voluma o mea ma'a'a o le feliuliua'iga. Afai e fa'ata'amilomilo se vaega i le 'au \(x\), e mafai ona maua le voluma o le mea faitino e fa'aaoga ai le metotia o le tisiketi po'o le metotia o le mama.
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
Fuafua le voluma o le mea faitino na gaosia pe a fa'ata'amilomilo le vaega o lo'o fa'atapula'aina e le pi'o \(y = \sqrt{x}\) ma le laina \(x = 4\) i le 'au \(x\).
Talanoaga:
Mo le su'eina o le voluma o se mea malō e fesuia'i lona li'o, e mafai ona tatou fa'aogaina le metotia o le tisiketi. O le voluma \(V\) o le mea malō e maua mai e mafai ona fa'aalia e pei ona fa'amatalaina:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
O fea \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), ma le \(b = 4\).
Laasaga 1: Fausia le integral o le volume.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \]
Laasaga 2: Fa'afaigofie le galuega faatino i le integral.
\[ V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \]
Laasaga 3: Fuafua le integral o le \(x\).
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Laasaga 4: Fa'aaoga tapula'a \(0\) i le \(4\).
\[ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
Laasaga 5: Fuafua le tapula'a.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
O lea la, o le voluma o le mea faitino e maua mai ai o le \(8\pi\) iunite o le voluma.
3. Fuafuaina o le Galuega na Faia e se Malosiaga Fesuiai
E maua fo'i fa'aoga fa'apitoa i le fisiki, o se tasi o ia mea o le fuafuaina lea o le galuega e faia e se malosiaga fesuisuia'i pe a fealua'i se mea mai le tasi tulaga i le isi.
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
O se malosiaga \(F(x) = 3x^2\) Newton e galue i luga o se vaega o loʻo gaoioi mai le \(x = 1\) mita i le \(x = 3\) mita. Faʻatatau le galuega na faia e le malosiaga.
Talanoaga:
E mafai ona maua le galuega \(W\) na faia e le malosi \(F(x)\) e ala i le fuafuaina o le integral o le \(F(x)\) i luga o le si'itia mai le \(a\) i le \(b\):
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
O fea o le \(a = 1\), \(b = 3\), ma le \(F(x) = 3x^2\).
Laasaga 1: Fausia le vaega autū o le galuega.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Laasaga 2: Fuafua le integral o le \(3x^2\).
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
Laasaga 3: Fa'aaoga tapula'a \(1\) i le \(3\).
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
Laasaga 4: Fuafua le tapula'a.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
O lea la, o le galuega e faia e le malosi e \(26\) joules.
4. Fuafuaina o le Mamafa Hydrostatic
I le fisiki, e faʻaaogaina foʻi integrals e fuafua ai le mamafa o le hydrostatic i luga o se mea e faʻatofuina i totonu o se vai.
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
O se ipu fa'atulagaina e 6 mita le maualuga ma le 4 mita le lautele ua lofia i le vai ma lona pito i luga a'e o le vai. Fa'atatau le malosi atoa o le mamafa o le vai i luga o le ipu.
Talanoaga:
O le mamafa i le loloto \(h\) i le vai e tuʻuina mai e \(P = \rho gh\), lea o le \(\rho\) o le mafiafia o le vai (pe tusa ma le \(1000 \text{ kg/m}^3\)) ma le \(g\) o le faʻavavevaveina ona o le kalave (pe tusa ma le \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Mo le malosi atoa o le mamafa, e tatau ona tatou tuʻufaʻatasia le mamafa i luga o le vaega saʻo o le ipu.
Laasaga 1: Fuafua le galuega tauave o le mamafa.
\[ P(y) = \rho gy \]
Laasaga 2: O le malosi atoa \(F\) o le fa'asologa lea o le mamafa fa'ateleina o le eria autu \(dA\) mai \(y = 0\) i le \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Laasaga 3: Faafaigofie ia mea e tumau.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Laasaga 4: Fuafua le integral o le \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Laasaga 5: Fa'aaoga tapula'a \(0\) i le \(6\).
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
Laasaga 6: Fuafua le tapula'a.
\[ F = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot \frac{6^2}{2} = 4 \cdot 1000 \cdot 9.8 \cdot 18 = 705600 \]
O lea la, o le malosiaga atoa o le mamafa o le vai i luga o le ipu e \(705600\) Newton.
I'uga
O le faʻaaogaina o integrals i faʻaoga eseese e maua ai le malosi tele o le auʻiliʻili mo le fuafuaina o aofaʻiga faʻaletino faigata. I totonu o lenei tusiga, ua matou talanoaina ai le faʻaaogaina o integrals e fuafua ai le eria i lalo o se piʻo, le voluma o se mea maʻa o le taamilosaga, le galuega e faia e se malosiaga fesuisuiaʻi, ma le mamafa o le hydrostatic. Faatasi ai ma se malamalama lelei i metotia o le tuufaatasia, e mafai ona tatou foia le tele o faʻafitauli faʻatino e tulaʻi mai i le saienisi ma le inisinia.
