Faʻataʻitaʻiga o Fesili ma Talanoaga i Galuega Faʻatino i Numera Faigata
O numera faigata o se fa'aopoopoga lea o le manatu o numera moni e aofia ai numera fa'ata'ita'i. O le foliga lautele o se numera faigata o le a + bi, lea o le a ma le b o numera moni, ma le i o se iunite fa'ata'ita'i ma le meatotino i² = -1. O galuega i numera faigata e aofia ai le fa'aopoopoga, to'esega, fa'atelega, ma le vaevaega. O lenei tusiga o le a tu'uina atu ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga mo galuega eseese i numera faigata.
Fa'aopoopoga ma le To'esea o Fuainumera Faigata
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Fa'aopoopo numera faigata nei: (3 + 4i) ma le (1 + 2i).
Talanoaga:
O le faʻaopoopoina o numera lavelave e faia e ala i le faʻaopoopoina eseese o latou vaega moni ma vaega faʻataʻitaʻi.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
O lea la, o le aofaʻi o le (3 + 4i) ma le (1 + 2i) e 4 + 6i.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
To'ese le numera faigata (2 + 5i) mai le (6 + 3i).
Talanoaga:
O le toesea o numera faigata e faia e ala i le toesea eseese o le vaega moni ma le vaega mafaufau.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
O lea la, o le taunuuga o le to'esea o le (2 + 5i) mai le (6 + 3i) o le 4 – 2i.
Fa'atelega o Fuainumera Faigata
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Fa'atele numera faigata nei: (2 + 3i) ma le (4 + i).
Talanoaga:
O le fa'atelega o numera lavelave e faia e fa'aaoga ai tufatufaga po'o fa'atulagaga aloa'ia, e tutusa ma le fa'atelega o binomials e lua i le algebra masani.
\[
(2 + 3i) \cdot (4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i
\]
Ona matou fuafuaina lea ma le auiliili:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
Talu mai \( i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
O lea la, o le taunuuga o le faateleina o le (2 + 3i) ma le (4 + i) e 5 + 14i.
Vaevaega o Fuainumera Faigata
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Vaevae le numera faigata lenei: (5 + 6i) i le (2 + i).
Talanoaga:
Vaevaeina o numera faigata e faʻaaoga ai le conjugate o le denominator. O le conjugate o le \(2 + i\) o le \(2 – i\).
Tatou fa'ateleina le numerator ma le denominator i le conjugate o denominators:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
O lea la ua tatou fuafuaina eseese le numerator ma le denominator:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Fa'atelega o fa'ailoga:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Fa'atelega o numera:
\[
(5 + 6i) \cdot (2 – i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
O lea la, o le vaevaega e faapea:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
O le taunuuga la o le vaevaeina o le (5 + 6i) i le (2 + i) e 3.2 + 1.4i.
Talanoaga Fa'aopoopo: Modulus ma le Conjugate o Numera Faigata
Fa'ata'ita'iga Fesili 5
Saili le modulus ma le conjugate o le numera faigata \(z = 3 + 4i\).
Talanoaga:
O le modulus o le numera faigata \(z = a + bi\) e faapea:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Mo \(z = 3 + 4i\):
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
O le fa'asologa o le numera lavelave \(z = a + bi\) o le \(z^ = a – bi\).
Mo \(z = 3 + 4i\):
\[
z^ = 3 – 4i
\]
O le modulus la o le \(3 + 4i\) e 5, ma o lona conjugate e \(3 – 4i\).
I'uga
E taua tele le sao o numera faigata i le tele o vaega eseese o le matematika ma faʻaoga faʻapitoa. O le malamalama i galuega faʻavae i numera faigata, e pei o le faʻaopoopoga, toʻesega, faʻatelega, ma le vaevaega, o le ki lea i le faʻaaogaina o nei manatu i le foʻia o faʻafitauli e sili atu ona faigata. O le faʻataʻitaʻiina o ituaiga faʻafitauli eseese, e pei o na o loʻo faʻamatalaina i luga, o le a fesoasoani e faʻamalosia ai lou malamalama ma tomai i le galue i numera faigata.
