Fa'ata'ita'iga o Fesili Talanoaga Foiaina o Fa'afitauli i Galuega Fa'atafafā
I totonu o lenei tusiga, o le a tatou aʻoaʻoina ai pe faʻapefea ona foia faʻafitauli e faʻaaoga ai galuega faʻafafa e ala i le tuʻuina atu o faʻataʻitaʻiga ma laʻasaga auiliili o talanoaga. O se galuega faʻafafa o se galuega faʻafafa tikeri lona lua e iai le foliga lautele \( ax^2 + bx + c \), lea o \( a \), \( b \), ma \( c \) o ni mea tumau ma \( a \neq 0 \). O galuega faʻafafa i tulaga eseese e masani ona aliali mai i le fisiki, tamaoaiga, ma inisinia, ma avea ai ma autu taua tele e tatau ona aʻoaʻoina.
Se'i o tatou amata i le talanoaina o nisi o manatu faavae ona tatou o'o atu lea i nisi o fa'ata'ita'iga o fa'afitauli.
Manatu Fa'avae o Galuega Fa'atafafā
1. Fa'atulagaga Lautele: O le galuega fa'afa'afa e fa'aalia e pei o le \( f(x) = ax^2 + bx + c \).
2. A'a Fa'atafafā: E mafai ona maua a'a o le fua fa'atafafā \( ax^2 + bx + c = 0 \) e fa'aaoga ai le fua fa'atafafā, e pei o le:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
3. Fa'ailoga: O le fa'ailoga o se fa'atusatusaga fa'atafafā o le \( D = b^2 – 4ac \). O le tau o le fa'ailoga e fa'ailoa mai ai le natura o a'a o le fa'atusatusaga fa'atafafā:
– Afai \( D > 0 \), e lua ona a'a moni eseese.
– Afai \( D = 0 \), e tasi lona a'a moni (a'a masaga).
– Afai o le \( D < 0 \), e lua ona a'a fa'aputuga fa'atasi. 4. Vertex o se Parabola: O fa'amaopoopoga o le vertex o se parabola na fausia e se galuega fa'atafafā e mafai ona maua e fa'aaoga ai le fua fa'atatau: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Mo le tau o le \( y \) i le vertex, e mafai ona fuafuaina e ala i le suiina o le \( x \) i le galuega fa'atafafā.
– Afai \( a < 0 \), e tatala ifo le parabola. Faatasi ai ma nei manatu faavae uma i le mafaufau, se'i o tatou vaai pe faapefea ona tatou faaaogaina i le foiaina o faafitauli. Faataitaiga o le Faafitauli 1: Sailiga o A'a o se Galuega Fa'atafafā Faafitauli: Saili a'a o le fa'atusatusaga fa'atafafā \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). Tali: Ina ia maua a'a o se fa'atusatusaga fa'atafafā, e mafai ona tatou fa'aogaina le fua fa'atafafā. O la'asaga nei: 1. Fa'ailoa ia coefficients \( a \), \( b \), ma \( c \): \[ a = 2, \quad b = -3, \quad c = -2 \] 2. Fuafua le discriminant: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] 3. Talu ai \( D > 0 \), o le a iai ni a'a moni se lua e eseese. Fa'aauau i le fuafuaina o nei a'a:
\[
x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}
\]
4. Fuafua ni tau se lua o le \( x \):
\[
x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{and} \quad x_2 = \frac{3 – 5}{4} = -\frac{1}{2}
\]
O lea la, o a'a o le fua fa'atatau \( 2x^2 – 3x – 2 = 0 \) o \( x = 2 \) ma le \( x = -\frac{1}{2} \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Sailia o Fa'amaopoopoga o le Vertex o se Parabola
Fesili:
Saili ia fa'amaopoopoga o le tumutumu o le galuega fa'afa'atasi \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \).
Talanoaga:
Mo le mauaina o fa'amaopoopoga o le tumutumu, fa'aaoga le fua fa'atatau o le fa'amaopoopoga o le tumutumu:
1. Fa'ailoa mai ia fua fa'atatau \( a \) ma le \( b \):
\[
a = 3, \quad b = -6
\]
2. Fuafua le \( x \) i le pito i luga:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1
\]
3. Fuafua le \( y \) e ala i le suiina o le \( x = 1 \) i totonu o le galuega faatino \( f(x) \):
\[
f(1) = 3(1)^2 – 6(1) + 2 = 3 – 6 + 2 = -1
\]
O lea la, o fa'amaopoopoga pito i luga o le galuega faatino \( f(x) = 3x^2 – 6x + 2 \) e \( (1, -1) \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Fuafuaina o le Itu e Amata ai se Parabola
Fesili:
Fuafua le itu e tatala ai le parabola o le galuega fa'afa'atasi \( f(x) = -x^2 + 4x – 7 \).
Talanoaga:
Mo le fuafuaina o le itu e tatala ai le parabola, tatou te tilotilo i le faailoga o le coefficient \( a \):
1. Fa'ailoa le fua fa'atatau \( a \):
\[
a = -1
\]
2. Talu ai \( a < 0 \), e tatala i lalo le parabola. O lea la, o le itu e tatala ai le parabola o le galuega faatino \( f(x) = -x^2 + 4x - 7 \) e agai i lalo. Faataitaiga 4: Faaaogaina o Galuega Faatino Faatafafā i Tulaga Moni o le Olaga
Fesili: O se polo e togi mai le eleele i le fua fa'atatau fa'atafafā \( h(t) = -5t^2 + 20t \), lea o le \( h \) o le maualuga o le polo i mita ma le \( t \) o le taimi i sekone. O le a le umi e alu ai se'ia o'o le polo i lona maualuga maualuga, ma o le a lona maualuga maualuga? Talanoaga: 1. Saili le taimi e oʻo atu ai i le maualuga aupito maualuga (o faʻamaopoopoga o le tumutumu): \[ a = -5, \quad b = 20 \] \[ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = \frac{20}{10} = 2 \quad \text{seconds} \] 2. Fuafua le maualuga aupito maualuga e ala i le suiina o le \( t \) i totonu o le fua faʻatatau \( h(t) \): \[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \quad \text{meters} \] O lea la, o le taimi e alu ai le polo e oʻo atu ai i le maualuga aupito maualuga e 2 sekone, ma o lona maualuga aupito maualuga e 20 mita. Faaiuga I totonu o lenei tusiga, ua tatou talanoaina ai vaega taua eseese o galuega faʻatafafā faʻapea foʻi ma le auala e foia ai faʻafitauli e aofia ai galuega faʻatafafā e ala i ni faʻataʻitaʻiga se tele. Talanoaina o a'a o fa'atusatusaga fa'atafafā, sailia o fa'amaopoopoga o le tumutumu, fuafuaina o le itu e tatala ai se parabola, ma fa'aogaina o galuega fa'atafafā i tulaga moni o le lalolagi, e pei o le fa'amatalaina o le gaioiga o mea faitino. Faatasi ai ma se malamalamaga mautu i nei manatu autu, o le a mafai ona e fa'alatalata atu i fa'afitauli eseese o le matematika ma le saienisi e aofia ai galuega fa'atafafā ma le mautinoa tele. O galuega fa'atafafā e le gata ina taua i le teorema ae e matua aoga foi i fa'aoga moni o le lalolagi ma le foia o fa'afitauli i le tele o vaega.