Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o Li'o ma Pa'epa'e
O li'o ma tangents o ni mataupu e lua e masani ona talanoaina i le matematika, aemaise lava i le tulaga o a'oga maualuga. O le malamalama i le manatu ma le fa'aogaina o tangents i li'o e taua tele mo le fa'alauteleina o lou malamalama i le geometry. O lenei tusiga o le a tu'uina atu ai fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga i li'o ma tangents e tu'uina atu ai i le au faitau se malamalamaga loloto.
Folasaga i le A'oa'oga o Li'o ma Tangents
Lingkaran
O se li'o o se seti o togi i totonu o se va'alele e tutusa le mamao mai se togi tumau e ta'ua o le ogatotonu o le li'o. O lenei mamao tumau e ta'ua o le radius o le li'o. I le fa'amatematika, e mafai ona fa'amatalaina se li'o e ala i le fua fa'atatau:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
lea o le \((a, b)\) o fa'amaopoopoga o le ogatotonu o le li'o ma le \(r\) o le radius.
Pa'aga
O le tangent i se li'o o se laina e pa'i atu i le li'o i le tulaga e tasi. O lenei tulaga e ta'ua o le point of tangency. O le uiga autū o se tangent o lona tu sa'o lea i le radius e tosoina mai le ogatotonu o le li'o i le point of tangency.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fesili 1: Fuafuaina o le Fa'atusatusaga o le Laina o le Tangent
Fesili:
Tuuina atu se li'o e ogatotonu i le \( (2, 3) \) ma le radius e 5. Fuafua le fua fa'atatau o le laina tangent i le li'o i le tulaga \( P \) fa'atasi ai ma fa'amaopoopoga \( (5, 7) \).
Talanoaga:
Laasaga 1: Ia mautinoa o loʻo i luga tonu o le liʻo le tulaga \(P \).
Ina ia siaki pe o i luga o se li'o le \( P (5, 7) \) ma le ogatotonu \( (2, 3) \) ma le radius \( 5 \), sui ia fa'amaopoopoga o le \( P \) i totonu o le fua fa'atatau o le li'o:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Talu ai e moni le tutusa, o le tulaga \( P \) o loʻo i luga o le liʻo.
Laasaga 2: Fuafua le gradient o le radius e ui atu i le \( (2, 3) \) ma le \( (5, 7) \):
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Laasaga 3: O le gradient o le tangent e fa'asaga tonu i le gradient o le radius (o le gradient o le oloa e -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Laasaga 4: Fuafua le fua fa'atatau o le laina tangent e fa'aaoga ai le tulaga \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Fa'afaigofie:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent e fa'apea:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Fesili 2: Fuafuaina o le Point of Tangency mai le Line Equation
Fesili:
Tuuina atu se li'o ma le fua fa'atatau \( x^2 + y^2 = 25 \) ma se laina \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Fuafua le tulaga o le pa'i i le va o le laina ma le li'o.
Talanoaga:
Laasaga 1: Sui le fua fa'atatau o le laina i le fua fa'atatau o le li'o:
Fa'atusatusaga o se li'o:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Suitulaga \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) i totonu o le fua fa'atatau o le li'o:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Laasaga 2: Fa'afaigofie le fua fa'atatau:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Laasaga 3: Sailia o aʻa e faʻaaoga ai le fua faʻatatau quadratic:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Filifilia o se \( x \) aoga e faʻavae i luga o le tulaga o le tangency (e naʻo le tasi \( x \) o le a maua ai se tulaga o le tangency):
\[ x = \frac{141.501}{50} \approx 2.83 \]
\[ x \pe tusa ma le 2.83 \]
Laasaga 4: Sui le \( x \) i le fua fa'atatau o le laina e maua ai le \( y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \pe tusa ma le 2.12 + 2 \]
\[ y \pe tusa ma le 4.12 \]
O lea la, o le tulaga o le feso'ota'iga i le va o le laina \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) ma le li'o \( x^2 + y^2 = 25 \) o le \( (2.83, 4.12) \).
I'uga
O le a'oa'oina o manatu o li'o ma tapula'a e aofia ai le malamalama i mea taua o le geometry ma le mafai ona foia fa'afitauli e fa'aaoga ai fua fa'atatau fa'amatematika. O fa'afitauli e pei o fa'afitauli o lo'o i luga e fesoasoani i tamaiti a'oga e fa'ata'ita'i le fa'aogaina o a'oa'oga i tulaga sili atu ona maoti. Faatasi ai ma le fa'ata'ita'i faifai pea, e fa'amoemoeina tamaiti a'oga e malamalama ma foia fa'afitauli i se auala faigofie.
