Faʻataʻitaʻiga o Fesili Talanoaga Tuufaatasi
O tu'ufa'atasiga o se manatu taua i le teolo o le avanoa ma fuainumera, e mafai ai ona tatou faitauina le aofa'i o auala e filifili ai mea mai se seti e aunoa ma le mafaufau i le fa'asologa. I tu'ufa'atasiga, e tumau pea le fa'asologa o filifiliga e le suia, e le pei o fa'asologa o filifiliga, lea e taua tele ai le fa'asologa o filifiliga. E fa'aaogaina tu'ufa'atasiga i le tele o vaega eseese, mai le saienisi komepiuta ma le paiolo i le tamaoaiga ma le matematika. O lenei tusiga o le a fa'amatalaina ai le manatu autu o tu'ufa'atasiga ma tu'uina atu ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma talanoaga e fesoasoani ai i lou malamalama.
Manatu Fa'avae o le Tu'ufa'atasiga
A o le'i agai atu i fa'ata'ita'iga o fa'afitauli, se'i o tatou amata i se malamalamaga fa'avae e uiga i tu'ufa'atasiga.
O le tuufaatasiga o mea \(n\) na aveina \(r\) i le taimi e tasi e faailoa mai e le faailoga \(\binom{n}{r}\) po o le \(\mathbf{C}(n, r)\). O le fua faatatau mo le fuafuaina o le tuufaatasiga o le:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(nr)!} \]
– \( n \) o le aofaʻi atoa o mea faitino o loʻo maua.
– \( r \) o le aofaʻi o mea e filifilia.
– ! (factorial) o se fa'agaioiga fa'amatematika e fa'atele ai se numera i numera lelei uma i lalo ifo e o'o atu i le 1.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Filifilia o se 'Au mai se Vaega o Tamaiti A'oga
Fesili:
E to'a 10 tamaiti a'oga i totonu o le vasega. E fia ni auala e mafai ona filifilia ai tamaiti a'oga e to'a 4 mai le vasega e auai i le tauvaga?
Talanoaga:
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tu'ufa'atasiga:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Fuafuaina o le factorial:
– \( 10! = 10 \fa'atele 9 \fa'atele 8 \fa'atele 7 \fa'atele 6! \)
– \( 4! = 4 \fa'atele 3 \fa'atele 2 \fa'atele 1 = 24 \)
– Ua i ai le \( 6! \) i le pito i luga, o lea e mafai ai ona faaleaogaina le 6! i le \(10!\).
O lea la:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
O lea la, e 210 auala e filifili ai tamaiti aʻoga e 4 mai tamaiti aʻoga e 10.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Tu'ufa'atasiga e Fa'aaogaina ai Seti Kata
Fesili:
Mai se seti o pepa e 52, e fia ni auala e filifili ai se lima poker e 5 pepa?
Talanoaga:
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tu'ufa'atasiga:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Fuafuaina o le factorial:
– \( 52! = 52 \faitaimi 51 \faitaimi 50 \faitaimi 49 \faitaimi 48 \faitaimi 47! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Ua i ai le \( 47! \) i le pito i luga, o lea e mafai ai ona faaleaogaina le 47! i le \(52!\).
O lea la:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
O lea la, e 2,598,960 auala e filifili ai ni kata e 5 mai ni kata e 52.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Fuafuaina o Tuufaatasiga mo le Filifiliga o 'Au Ta'aloga
Fesili:
E to'a 15 tagata ta'a'alo o se 'au pasiketipolo. Afai e mana'o le faia'oga e filifili ni tagata ta'a'alo se to'a 5 e avea ma amataga, e fia ni auala e mafai ona faia ai lenei mea?
Talanoaga:
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tu'ufa'atasiga:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Fuafuaina o le factorial:
– \( 15! = 15 \faitaimi 14 \faitaimi 13 \faitaimi 12 \faitaimi 11 \faitaimi 10! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Ua i ai le \( 10! \) i le pito i luga, o lea e mafai ai ona faaleaogaina le 10! i le \(15!\).
O lea la:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
O lea la, e 3,003 auala e filifili ai ni tagata taaalo e toalima mai le toalima sefululima.
Fa'ata'ita'iga Fesili 4: Tu'ufa'atasiga i le Paiolo
Fesili:
I totonu o se togālaau, e 8 ituaiga fugālaau eseese. E fia auala e mafai ona filifilia ai ituaiga fugālaau e 3 e fai ai se teuga fugālaau?
Talanoaga:
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tu'ufa'atasiga:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Fuafuaina o le factorial:
– \( 8! = 8 \fa'atele 7 \fa'atele 6 \fa'atele 5! \)
– \( 3! = 3 \fa'atele 2 \fa'atele 1 = 6 \)
– Ua i ai le \( 5! \) i le pito i luga, o lea e mafai ai ona faaleaogaina le 5! i le \(8!\).
O lea la:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
O lea la, e 56 auala e filifili ai ituaiga fugālaau e 3 mai ituaiga fugālaau e 8.
Fa'ata'ita'iga Fesili 5: Tu'ufa'atasiga i le Fausiaina o 'Au
Fesili:
E 12 au tusi eseese i luga o se fata tusi. E fia ni auala e mafai ona e filifilia ai tusi e 5 mai tusi e 12?
Talanoaga:
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tu'ufa'atasiga:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Fuafuaina o le factorial:
– \( 12! = 12 \faitaimi 11 \faitaimi 10 \faitaimi 9 \faitaimi 8 \faitaimi 7! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– Ua i ai le \( 7! \) i le pito i luga, o lea e mafai ai ona faaleaogaina le 7! i le \(12!\).
O lea la:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
O lea la, e 792 auala e filifili ai tusi e 5 mai tusi e 12.
I'uga
O tu'ufa'atasiga o se manatu aoga tele i vaega eseese, aemaise lava pe a mana'omia ona tatou iloa le aofa'i o auala e filifili ai mea e aunoa ma le fa'atulagaina. I le fa'aaogaina o le fua fa'avae o le tu'ufa'atasiga \(\binom{n}{r}\), e mafai ona tatou fa'atatauina vave ma faigofie, pe afai tatou te malamalama i le fa'agaioiga o factorial. E ala i fa'ata'ita'iga o lo'o i luga, matou te fa'amoemoe e maua se malamalamaga sili atu ona atoatoa ma manino i tu'ufa'atasiga. Fa'aauau pea ona fa'ata'ita'i i le tele o fa'afitauli e fa'amalosia atili ai lou malamalama.
