Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Uiga o Galuega Fa'atafafā
O le galuega fa'atafafā o se mataupu taua i le matematika e masani ona fetaia'i i mataupu aoaoina a le a'oga maualuga. O le fa'atulagaga lautele o se galuega fa'atafafā o le \( f(x) = ax^2 + bx + c \), lea o \( a \), \( b \), ma le \( c \) o ni mea e tumau ma le \( a \neq 0 \). O le talanoaga o uiga o galuega fa'atafafā e aofia ai vaega eseese e pei o le axis of symmetry, vertex, maualuga po'o le maualalo o tau, ma le itu o le parabola. O lenei tusiga o le a talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma a latou fofo ina ia malamalama atili ai i uiga o galuega fa'atafafā.
1. Fesili: Fuafuaina o le Axis of Symmetry ma le Vertex
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
I le tu'uina atu o se galuega fa'afa'atasi \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Fuafua le axis of symmetry ma le vertex o le galuega.
Talanoaga:
Mo le fuafuaina o le axis of symmetry o le quadratic function \( ax^2 + bx + c \), matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
I le galuega faatino ua tuuina atu \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), o tau \( a = 2 \) ma le \( b = -4 \). Sui nei tau i totonu o le fua faatatau:
\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4}{4} \]
\[ x = 1 \]
O lea la, o le axis of symmetry o le galuega faatino o le \( x = 1 \).
Mo le mauaina o le tumutumu, matou te sui le tau o le axis of symmetry i totonu o le function:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ f(1) = -1 \]
O lea la, o le tumutumu o le galuega faatino o le \( (1, -1) \).
2. Fesili: Fuafuaina o le Itu o se Parabola
Faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli:
Fuafua le itu o le parabola o le galuega fa'afa'atasi \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).
Talanoaga:
O le itu o le parabola o se galuega fa'afa'atasi e fuafua e le tau o le coefficient \( a \).
– Afai o le \( a > 0 \), e tatala i luga le parabola.
– Afai o le \( a < 0 \), e matala i lalo le parabola.
I le galuega faatino ua tuuina atu \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), o le tau \( a = -3 \). Talu ai \( a < 0 \), e matala i lalo le parabola.
3. Fesili: Sailia o A'a o se Galuega Fa'atafafā Fa'ata'ita'iga Fesili: Saili a'a o le galuega fa'atafafā \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
Talanoaga: E mafai ona maua a'a o se galuega fa'afa'atasi e ala i le fa'avasegaina po'o le fa'aaogaina o le fua fa'afa'atasi. O le a tatou fa'avasegaina: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Saili ni numera se lua pe a fa'atele e tutusa ma le 6 ma a fa'aopoopo e tutusa ma le -5. O fuainumera o le -2 ma le -3.
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] O lea la, o a'a nei: \[ x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3 \] 4. Fesili: Tau Maualuga po'o le Tau Maualalo Fa'ata'ita'iga Fesili: Fuafua le tau maualalo o le galuega fa'atafafā \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).
Talanoaga: Ina ia fuafua le tau maualalo o le galuega fa'afa'atasi \( ax^2 + bx + c \), e mana'omia ona tatou siaki pe tatala i luga pe i lalo le parabola. Afai \( a > 0 \), e tatala i luga le parabola ma e iai sona tau maualalo; afai \( a < 0 \), e tatala i lalo le parabola ma e iai sona tau maualuga.
I le galuega faatino ua tuuina atu \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \), o le tau o le \( a = 2 \), o lea la e tatala i luga le parabola ma e iai sona tau maualalo.
E tupu le tau maualalo i le tumutumuga. Ua uma ona tatou iloa le axis of symmetry \( x = -\frac{b}{2a} \). Mo lenei galuega faatino: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] Suitulaga \( x = 1 \) i totonu o le galuega faatino e sue ai le tau maualalo: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] O le mea lea, o le tau maualalo o le galuega faatino e 3.
5. Fesili: Kalafi o le Galuega Fa'atafafā Fa'ata'ita'iga Fesili: Fausia se kalafi o le galuega fa'atafafā \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
Talanoaga: Ina ia tusia se kalafi o se galuega fa'afa'afa, e mana'omia ona tatou sailia ni uiga taua e pei o le axis of symmetry, le vertex, ma a'a o le galuega, fa'apea fo'i ma le itu o le parabola.
1. Axis of Symmetry : \[ x = -\frac{b}{2a} \] I le galuega faatino \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), o tau \( a = -1 \) ma le \( b = 4 \).
\[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. Vertex: Sui le \( x = 2 \) i totonu o le galuega faatino e sue ai le vertex: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] O le vertex o le \( (2, 1) \).
3. Itu o le Parabola: Talu ai \( a = -1 \), e matala i lalo le parabola.
4. A'a o se Galuega Fa'atafafā: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] E mafai ona tatou fa'aogaina le fua fa'atafafā: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Mo \( a = -1 \), \( b = 4 \), ma \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] Lua fofo: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] O a'a o \( x = 1 \) ma le \( x = 3 \).
Faatasi ai ma nei faamatalaga uma, e mafai ona tatou kalafi se galuega faatino fa'atafafā. O lenei parabola e iai lona tumutumu i le \( (2, 1) \), e tatala i lalo, ma a'a i le \( x = 1 \) ma le \( x = 3 \).
Faaiuga E ala i faʻataʻitaʻiga ua uma ona talanoaina, e mafai ai ona tatou malamalama atili i uiga eseese o galuega faʻatafafā. O le malamalama i le auala e fuafua ai le axis of symmetry, le vertex, le maualuga po'o le maualalo o le tau, le itu o le parabola, ma a'a o le quadratic function e matua taua tele i le fa'amatalaina o le foliga ma meatotino o le parabola. O le malamalama lelei i nei manatu o le a maua ai se faavae malosi mo tamaiti aoga e suʻesuʻe atili ai mataupu i le matematika.
