Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o Vaega o Li'o
O vaega o se li'o o se autu taua i le matematika e masani ona aliali mai i suega ma fesili fa'ata'ita'i. O se vaega o le vaega o se li'o e fa'atapula'aina e ni radii se lua ma le li'o e feso'ota'i ai. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli i vaega o se li'o, fa'atasi ai ma fa'amatalaga auiliili, e fa'alolotoina ai lo tatou malamalama.
Fa'amatalaga o se Vaega o le Li'o
O se vaega o se li'o o se vaega o se li'o e fa'atapula'aina e ni radius e lua ma se li'o e tasi. O le lautele o se vaega e fa'atatauina e fa'atatau i se vaega o le lautele atoa o le li'o. O le fua fa'atatau autu e fa'aaogaina e fa'atatau ai se vaega e fa'apea:
– Eria o Juring : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Umi o le Arc : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
O fea:
– \( \theta \) o le telē o le tulimanu o le vaega i tikeri,
– o le \( r \) o le radius o le li'o,
– O le \( \pi \) o se tumau (pe tusa ma le 3.14159).
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fesili 1:
Tuuina atu se li'o e 10 cm le lautele ma se vaega e 90° le tulimanu i le ogatotonu. Fuafua le lautele o le vaega.
Talanoaga:
Ua iloa:
– \( r = 10 \) senitimita
– \( \theta = 90^\circ \)
Matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau mo le eria o se vaega:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Afai e ave le \( \pi \) i le 3.14, ona:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
O lea la, o le lautele o le vaega e 78.5 cm².
Fesili 2:
O le lautele o se vaega o se li'o e 7 cm ma le umi o le arc e 11 cm. Fuafua le tulimanu tutotonu o le vaega i radians.
Talanoaga:
Ua iloa:
– \( r = 7 \) senitimita
– Umi o le aū \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau o le arc length e suʻe ai le tulimanu \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Talu ai ua talosagaina i tatou e su'e le tulimanu i radians, tatou te sui le 360° i le \(2\pi\) radians:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ rad}\]
O lea la, o le tulimanu tutotonu o le vaega e 1.57 radians.
Fesili 3:
O se li'o e 16 cm le lautele ma e 200 cm² le lautele o lona vaega. Fuafua le tulimanu tutotonu o le vaega.
Talanoaga:
Ua iloa:
– \( r = 16 \) senitimita
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau o le eria mo se vaega e suʻe ai \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \pe tusa ma le 89.45^\circ\]
O lea la, o le tulimanu tutotonu o le vaega e tusa ma le 89.45°.
Fesili 4:
Fuafua le faataamilosaga atoa o se vaega e 12 cm le radius ma le tulimanu tutotonu e 120°.
Talanoaga:
Ua iloa:
– \( r = 12 \) senitimita
– \( \theta = 120^\circ \)
Muamua, matou te mauaina le umi o le arc:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Ona tatou fuafuaina lea o le li'o o le vaega (umi o le arc + radii e lua):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
Afai e ave le \( \pi \) i le 3.14, ona:
\[K = 24\text{ cm} + 8 \times 3.14\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 25.12\text{ cm}\]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
O lea la, o le aofaʻi atoa o le liʻo o le vaega e 49.12 cm.
Fesili 5:
Afai o se li'o e 18 cm le lautele ma e 45° le tulimanu o lona vaega, fuafua le umi o le li'o ma le lautele o le vaega.
Talanoaga:
Ua iloa:
– \( r = 18 \) senitimita
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Umi o le Arc:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Afai e ave le \( \pi \) i le 3.14, ona:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ cm} \approx 14.13\text{ cm}\]
O lea la, o le umi o le aufana e tusa ma le 14.13 cm.
2. Vaega o le Vaega:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Afai e ave le \( \pi \) i le 3.14, ona:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
O lea la, o le lautele o le vaega e tusa ma le 127.17 cm².
I'uga
I totonu o lenei tusiga, ua matou talanoaina ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli e faʻatatau i vaega o se liʻo ma a latou fofo. O le uiga autū o le malamalama i vaega o se liʻo o loʻo taoto i le aʻoaʻoina o fua faʻatatau mo le fuafuaina o le lautele o se vaega ma le umi o se liʻo. O le faʻataʻitaʻi soo ma le malamalama i le faʻaaogaina o nei fua faʻatatau i ituaiga eseese o faʻafitauli o le a faʻamoemoe e fesoasoani e faʻaleleia atili ai lou tomai e foia ai faʻafitauli faʻapena.
