Fa'ata'ita'iga o Fesili Talanoaga e uiga i le Analytical Geometry
Pendahuluan
O le geometry fa'ata'ita'i o se lala o le matematika e tu'ufa'atasia ai le algebra ma le geometry e foia ai fa'afitauli e aofia ai le avanoa ma le foliga. O se meafaigaluega mamana e mafai ai ona tatou iloiloina fa'afitauli fa'ata'ita'i e fa'aaoga ai fua fa'atatau ma fa'amaopoopoga. O lenei tusiga o le a talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli o le eria o le geometry fa'ata'ita'i ma talanoaina auiliili e fa'afaigofie ai se malamalamaga loloto.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Fa'atusatusaga o le Laina
Fesili:
Tuuina atu ni vaega se lua A(1, 2) ma le B(3, 7). Fuafua le fua fa'atatau o le laina e ui atu i nei vaega e lua.
Talanoaga:
Mo le sailia o le fua fa'atatau o se laina e ui atu i ni vaega se lua, e mafai ona tatou fa'aogaina le fua fa'atatau o le gradient (slope) m:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Faatasi ai ma le tulaga A(x1, y1) = (1, 2) ma le tulaga B(x2, y2) = (3, 7):
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Sosoo ai, matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau mo le fua faʻatatau o le laina:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Suiga o le tasi le togi, mo se faʻataʻitaʻiga togi A(1, 2):
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Liliu lenei fomu i se fua fa'atatau manino mo le y:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina e fa'apea:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Li'o
Fesili:
Fuafua le fua fa'atatau o se li'o e fa'atotonugalemu i le tulaga C(-2, 3) ma e 4 lona radius.
Talanoaga:
O le fua fa'atatau lautele o se li'o e ogatotonu i le (h, k) ma le radius r e fa'apea:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Mai le fesili, o le ogatotonu o le li'o (h, k) = (-2, 3) ma le radius r = 4. O lea la,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le li'o e fa'apea:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Parabola
Fesili:
Fuafua le fua fa'atatau o se parabola fa'atulagaina ma le tumutumu i le (1, -2) ma taula'i i le (1, 0).
Talanoaga:
Mo se parabola fa'atulagaina ma le tumutumu (h, k), o le fua fa'atatau lautele e fa'apea:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
I le tulaga o le tumutumu (h, k) = (1, -2), e manaʻomia ona tatou sailia le tau o le p. O le taulaʻiga o le parabola o le (h, k + p), ma mai le faʻafitauli o le taulaʻiga o le (1, 0):
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
O lena la:
\[ p = 2 \]
O lea la, o le fua fa'atatau lautele e avea ma:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le parabola e fa'apea:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 4: Ellipse
Fesili:
Tuuina atu se ellipse ma le ogatotonu i le tulaga (0, 0), o le umi o le au autu e 10 ma le au laitiiti e 6. Fuafua le fua faatatau o le ellipse.
Talanoaga:
O le ogatotonu o le ellipse (h, k) o le (0, 0), o le umi o le au autu 2a = 10 ina ia a = 5, ma le umi o le au laitiiti 2b = 6 ina ia b = 3. O le fua fa'atatau lautele mo se ellipse ma le ogatotonu i le (0, 0) o le:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Suitulaga ia tau o le a ma le b:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le ellipse e fa'apea:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Fa'ata'ita'iga Fesili 5: Hyperbola
Fesili:
I le tu'uina atu o se hyperbola e ogatotonu i le (1, -3), o le umi o le transverse axis e 8 ma o le umi o le conjugate axis e 6. Fuafua le fua fa'atatau o le hyperbola.
Talanoaga:
Mo se hyperbola ma le ogatotonu (h, k) ma le au fa'alava fa'alava, o le fua fa'atatau lautele e fa'apea:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
O le ogatotonu o le hyperbola (h, k) o le (1, -3), o le umi o le axis transverse o le 2a = 8 ina ia a = 4, ma le umi o le axis conjugate o le 2b = 6 ina ia b = 3. O le mea lea, o le fua fa'atatau o le hyperbola e fa'apea:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le hyperbola e fa'apea:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
I'uga
O le geometry fa'ata'ita'i o se metotia mamana mo le su'esu'eina o foliga ma fausaga fa'ata'ita'i e fa'aaoga ai fa'atusatusaga fa'alefe'au. I le malamalama i manatu fa'avae o fa'atusatusaga o laina, li'o, parabolas, ellipses, ma hyperbolas, e mafai ona tatou foia faigofie le tele o fa'afitauli o le geometry. O lenei tusiga o lo'o tu'uina atu ai fa'ata'ita'iga ma talanoaga o fa'afitauli taua i le geometry fa'ata'ita'i e fesoasoani e fa'alolotoina ai lou malamalama. O fa'afitauli fa'ata'ita'i fa'aopoopo e mafai ona fesoasoani e fa'amalosia ma fa'alautele lou malamalama i lenei mataupu.
