Fa'ata'ita'iga o Fesili ma Talanoaga o le Tangents i le Conic Sections
Pendahuluan
O le vaega fa'akone o se pi'o e mafua mai i le feiloa'iga o se va'alele ma se kone dipolar. O nei pi'o e aofia ai li'o, ellipses, parabolas, ma hyperbolas. O se tasi o autu taua i le malamalama i vaega fa'akone o le laina tangent. O le tangent i se vaega conic o se laina e pa'i atu i le pi'o conic i le na'o le tasi le tulaga. O lenei tusiga o le a talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli ma se talanoaga o tangents i vaega conic.
Feso'ota'iga i se Li'o
O se li'o o se vaega fa'akoniki e sili ona faigofie lona foliga ma e tutusa lelei. Se'i o tatou amata i se fa'ata'ita'iga o le fa'afitauli e uiga i le fa'atusatusaga o tapula'a i se li'o.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Tuuina atu se li'o e iai le fua fa'atatau \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Fuafua le fua fa'atatau o le laina tangent i le tulaga \((5, -3)\) i luga o le li'o.
Talanoaga
O le fua fa'atatau lautele o se li'o o le \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), fa'atasi ai ma le \( (h, k) \) o le ogatotonu o le li'o ma le \( r \) o le radius. I lenei fa'afitauli, o le ogatotonu o le li'o \((h, k)\) o le \((2, -3)\) ma le radius \( r = \sqrt{25} = 5 \).
E mafai ona maua le laina tangent i le tulaga \((x_1, y_1)\) i luga o le li'o e fa'aaoga ai le fua fa'atatau lenei:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Ulufale i tulaga ua iloa:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
O le fua fa'atatau o le laina tangent o le \(x = \frac{31}{3}\), ae o lo'o i ai se mea sese i lenei metotia aua o le tulaga \((5, -3)\) e manino lava o se tulaga i luga o le li'o. O le mea lea, matou te fa'aaogaina le metotia masani e ala i le suiina o le fa'asolo o le laina tangent i lenei tulaga patino:
O le tulaga o le tangent, \((5, -3)\), ona sosoo ai lea ma le gradient (m) o le laina radius o le \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), lea e le fa'amatalaina ai le gradient o le laina tangent mo le tangent fa'atulagaina muamua.
Laina o le Pa'u i le Ellipse
O le ellipse o se vaega fa'a-conic e lua ona axes of symmetry: o le major (long axis) ma le minor (pu'upu'u). O nisi nei o fa'ata'ita'iga o fa'afitauli i ellipses.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Tuuina atu se ellipse faatasi ai ma le fua faatatau \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Fuafua le fua faatatau o le laina tangent i le tulaga \((2, \frac{3}{2})\) i luga o le ellipse.
Talanoaga
O le fua fa'atatau o le laina tangent i le ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) i le tulaga \((x_1, y_1)\) e fa'apea:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Fa'aaoga le \(a = 4\) ma le \(b = 3\), sui ia tau o le \(a\), \(b\), ma le tulaga \((2, \frac{3}{2})\):
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Fa'atele le fua fa'atatau atoa i le 8 e aveese ai vaega ninii:
\[ x + 4y = 8 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent i le ellipse o le \( x + 4y = 8 \).
Laina Fa'afeso'ota'i i le Parabola
O le parabola o se vaega fa'a-conic e tasi le axis o le symmetry ma le tasi le vertex. O nisi nei o fa'ata'ita'iga o fa'afitauli i parabolas.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Tuuina atu se parabola faatasi ai ma le fua faatatau \( y^2 = 4x \). Fuafua le fua faatatau o le laina tangent i le tulaga \((1, 2)\) i luga o le parabola.
Talanoaga
O le fua fa'atatau o le laina tangent i le parabola \( y^2 = 4ax \) i le tulaga \((x_1, y_1)\) e fa'apea:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Mai le fa'atusatusaga parabola \( y^2 = 4x \), tatou te maua \( 4a = 4 \) ina ia \( a = 1 \). Sui le tau o \( a \) ma le tulaga \((1, 2)\):
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent i le parabola o le \( y = x + 1 \).
Laina Fa'afeagai i le Hyperbola
O le hyperbola o se vaega fa'a-conic e lua ona lālā ma lua asymptotes. O nisi nei o fa'ata'ita'iga o fa'afitauli i hyperbolas.
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Tuuina atu se hyperbola faatasi ai ma le fua faatatau \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Fuafua le fua faatatau o le laina tangent i le tulaga \((5, 0)\) i luga o le hyperbola.
Talanoaga
O le fua fa'atatau o le laina tangent i le hyperbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) i le tulaga \((x_1, y_1)\) e fa'apea:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Fa'aaoga le \( a = 5 \) ma le \( b = 4 \), sui ia tau \( a \), \( b \), ma le togi \((5, 0)\):
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
O lea la, o le fua fa'atatau o le laina tangent i le hyperbola o le \( x = 5 \).
I'uga
O le fa'atusatusaga o vaega o le tangents i vaega conic e taua tele i le matematika ma fa'aoga fa'atino eseese. O le malamalama i le auala e maua ai fa'atusatusaga o tangents i ituaiga eseese o vaega conic, e pei o li'o, ellipses, parabolas, ma hyperbolas, o se tomai taua i le calculus ma le analytic geometry. Fa'atasi ai ma fa'ata'ita'iga ma talanoaga o lo'o i luga, e fa'amoemoe o le a malamalama atili le au faitau i manatu ma metotia mo le fuafuaina o vaega o le tangents i vaega conic.
