Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Galuega Fa'afeagai
O le inverse function o se manatu faavae i le matematika, e masani ona fetaiaʻi i tulaga eseese o aʻoaʻoga. O lenei manatu e fesoasoani ia i tatou e malamalama i le auala e "faʻaliliu" ai se galuega, pe suʻe se galuega e maua ai le tau muamua o le galuega muamua. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou suʻesuʻeina maeʻaeʻa le manatu o inverse functions faʻatasi ai ma faʻataʻitaʻiga eseese o faʻafitauli ma auala e foia ai.
Malamalamaaga Fa'avae o Galuega Fa'afeagai
O le galuega fa'afeagai, e masani ona fa'ailoa mai e le \( f^{-1} \), o se galuega e toe fa'afo'i mai ai le tau muamua o se galuega \( f \). I se fa'apu'upu'uga faigofie, afai \( f(x) = y \), ona \( f^{-1}(y) = x \).
Mo se faʻataʻitaʻiga, faʻapea o loʻo ia te oe le galuega faatino \( f(x) = 2x + 3 \). Afai e te faʻapipiʻiina le tau \( x = 2 \), o lona uiga o le iʻuga o le \( f(2) = 2(2) + 3 = 7 \). O le galuega faatino faʻafeagai o le \( f \), lea tatou te faʻailoaina i le \( f^{-1}(x) \), e tatau ona toe faʻafoʻi mai i tatou i le tau muamua pe afai tatou te faʻapipiʻiina le 7: \( f^{-1}(7) = 2 \).
Laasaga e Su'e ai le Galuega Fa'afeagai
O laasaga lautele ia e su'e ai le galuega fa'afeagai o se galuega \( f(x) \):
1. Sui le \( f(x) \) i le \( y \):
Mo se faʻataʻitaʻiga, \( f(x) = 2x + 3 \), tatou te tusia e pei o le \( y = 2x + 3 \).
2. Fesuia'i tulaga o le \( x \) ma le \( y \):
Mo le su'eina o le fa'afeagai, tatou te fesuia'i \( x \) ma le \( y \) e maua ai le \( x = 2y + 3 \).
3. Foia le fua fa'atatau mo le \( y \):
Tatou foia le fua fa'atatau \( x = 2y + 3 \) mo \( y \):
\[
\begin{align}
x &= 2y + 3 \\
x – 3 &= 2y \\
y &= \frac{x – 3}{2}
\end{align}
\]
4. Tusi le Galuega Fa'afeagai:
O le galuega fa'afeagai \( f^{-1}(x) \) o le \( f(x) = 2x + 3 \) o le \( f^{-1}(x) = \frac{x – 3}{2} \).
Ia, se'i o tatou malamalama i lenei manatu faavae faatasi ai ma ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli.
Fesili Fa'ata'ita'i ma Talanoaga
Fa'ata'ita'iga Fesili 1
Fesili: Saili le galuega fa'afeagai o le \( f(x) = \frac{1}{x – 4} \).
Talanoaga:
1. Sui le \( f(x) \) i le \( y \):
\[
y = \frac{1}{x – 4}
\]
2. Fesuia'i tulaga o le \( x \) ma le \( y \):
\[
x = \frac{1}{y – 4}
\]
3. Foia le fua fa'atatau mo le \( y \):
\[
\begin{align}
x &= \frac{1}{y – 4} \\
xy &= 1 \\
xy – 4x &= 1 \\
xy – 4x &= 1 \\
y – 4 &= \frac{1}{x} \\
y &= \frac{1}{x} + 4
\end{align}
\]
4. Tusi le Galuega Fa'afeagai:
O le galuega fa'afeagai \( f^{-1}(x) \) o le \( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 4 \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 2
Fesili: Saili le galuega fa'afeagai o le \( g(x) = 3 – 5x \).
Talanoaga:
1. Sui le \( g(x) \) i le \( y \):
\[
y = 3 – 5x
\]
2. Fesuia'i tulaga o le \( x \) ma le \( y \):
\[
x = 3 – 5y
\]
3. Foia le fua fa'atatau mo le \( y \):
\[
\begin{align}
x &= 3 – 5y \\
x – 3 &= -5y \\
y &= \frac{3 – x}{5}
\end{align}
\]
4. Tusi le Galuega Fa'afeagai:
O le galuega fa'afeagai \( g^{-1}(x) \) o le \( g^{-1}(x) = \frac{3 – x}{5} \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 3
Fesili: Afai \( h(x) = \sqrt{x + 2} \), saili le galuega faatino faafeagai \( h^{-1}(x) \).
Talanoaga:
1. Sui le \( h(x) \) i le \( y \):
\[
y = \sqrt{x + 2}
\]
2. Fesuia'i tulaga o le \( x \) ma le \( y \):
\[
x = \sqrt{y + 2}
\]
3. Foia le fua fa'atatau mo le \( y \):
\[
\begin{align}
x &= \sqrt{y + 2} \\
x^2 &= y + 2 \\
y &= x^2 – 2
\end{align}
\]
4. Tusi le Galuega Fa'afeagai:
O le galuega fa'afeagai \( h^{-1}(x) \) o le \( h^{-1}(x) = x^2 – 2 \).
Fa'ata'ita'iga Fesili 4
Fesili: Saili le galuega fa'afeagai o le \( k(x) = \ln(x – 1) \) (fa'atasi ai ma le \( x > 1 \)).
Talanoaga:
1. Sui le \( k(x) \) i le \( y \):
\[
y = \ln(x – 1)
\]
2. Fesuia'i tulaga o le \( x \) ma le \( y \):
\[
x = \ln(y – 1)
\]
3. Foia le fua fa'atatau mo le \( y \):
\[
\begin{align}
x &= \ln(y – 1) \\
e^x &= y – 1 \\
y &= e^x + 1
\end{align}
\]
4. Tusi le Galuega Fa'afeagai:
O le galuega fa'afeagai \( k^{-1}(x) \) o le \( k^{-1}(x) = e^x + 1 \).
I'uga
O le malamalama i galuega fa'afeagai e mana'omia ai le fa'ata'ita'i ma le malamalama la'asaga i lea la'asaga o le manatu ma ona fa'aoga. O le faiga autū e aofia ai le fesuia'i o fesuia'iga, fo'ia o fa'atusatusaga, ma le tusiaina o le i'uga mulimuli o se galuega fa'afeagai. O le su'esu'eina o fa'afitauli fa'ata'ita'i eseese, e pei o na o lo'o talanoaina i luga, e mafai ona fesoasoani ia i tatou e atiina a'e atili ai o tatou tomai i le fa'ailoaina ma le malamalama i le manatu o galuega fa'afeagai.
E ala i le faʻataʻitaʻi ma le malamalama atoatoa i faʻataʻitaʻiga eseese o faʻafitauli, o le a mafai ai ona tatou foia ituaiga eseese o faʻafitauli e aofia ai galuega faʻafeagai ma le mautinoa atili.
