Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai le Binomial Distribution Function
O le tufatufaina binomial o se tufatufaina fa'apitoa e fa'amatalaina ai le aofa'i o manuia i se fa'ata'ita'iga e aofia ai le tele o tofotofoga tuto'atasi ma ni taunuuga se lua e ono tutupu: manuia ma le toilalo. O tofotofoga ta'itasi e ta'ua o se tofotofoga, ma o le tufatufaina binomial e masani ona fa'aaogaina i tulaga e taua ai le aofa'i o manuia mai le tele o tofotofoga tuto'atasi. I totonu o lenei tusiga, o le a tatou talanoaina ai manatu autu o le tufatufaina binomial ma tu'uina atu fa'ata'ita'iga ma fofo.
Manatu Fa'avae o le Binomial Distribution Function
A o le’i o’o atu i fesili fa’ata’ita’i ma le talanoaga, se’i o tatou talanoaina nisi o manatu fa’avae e feso’ota’i ma le binomial distribution.
1. Fa'amatalaga: O le binomial distribution ua fa'amatalaina o le aofa'i o manuia i 'n' fa'ata'ita'iga tuto'atasi, lea e lua taunuuga e ono maua i fa'ata'ita'iga ta'itasi: manuia (fa'atasi ai ma le ono mafai p) po'o le toilalo (fa'atasi ai ma le ono mafai q = 1 – p).
2. Galuega Faatino o le Avanoa: O le galuega faatino o le avanoa o le tufatufaina atu o le binomial e faapea:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
di mana:
– \( P(X = k) \) o le avanoa e maua ai le k manuia i le n tofotofoga.
– \( \binom{n}{k} \) o se tuufaatasiga o le n take k, lea e faauigaina o le \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) o le avanoa e manuia ai i tofotofoga taʻitasi.
– \( (1-p) \) o le avanoa e toilalo ai i tofotofoga taʻitasi.
3. Tau Fa'amoemoeina ma le Eseesega:
– O le tau fa'amoemoeina (averesi) o le tufatufaga binomial o le \( \mu = np \).
– O le eseesega o le binomial distribution e \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Ia, se'i o tatou fa'aogaina nei manatu i se fa'ata'ita'iga o fa'afitauli e maua ai se malamalamaga loloto.
Fa'ata'ita'iga Fesili 1: Fuafuaga Fa'avae o le Tu'ufa'atasiga Binomial
Fesili:
O se kamupani e gaosia ni vaega eletise ma le 0.95 le avanoa e pasia ai e vaega taʻitasi se suega lelei. Afai e 10 vaega e gaosia, fuafua le avanoa e pasia ai e le 8 vaega tonu le suega lelei.
Talanoaga:
E mafai ona tatou faʻaaogaina le fua faʻatatau o le binomial distribution e foia ai lenei faʻafitauli. Muamua, tatou te faʻailoaina mea nei:
– \( n \) (aofa'i o fa'ata'ita'iga) = 10
– \( k \) (numera o manuia) = 8
– \( p \) (avanoa o le manuia) = 0.95
– \( q \) (avanoga o le toilalo) = 1 – 0.95 = 0.05
Ona sui lea o nei tau i totonu o le fua fa'atatau o le tufatufaina atu o le binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Muamua, fuafua le tuufaatasiga \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Ona, fuafua lea o avanoa \( (0.95)^8 \) ma le \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \approx 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
I le mea mulimuli, fa'ateleina na tau uma e maua ai:
\[
P(X = 8) = 45 x 0.6634 x 0.0025 x 0.0744
\]
O lea la, o le avanoa e pasia ai e le 8 mai le 10 vaega le suega lelei e tusa ma le 0.0744 poʻo le 7.44%.
Fa'ata'ita'iga Fesili 2: Avanoa Fa'aputu
Fesili:
I le kamupani lava e tasi, fuafua le avanoa e pasia ai e le itiiti ifo i le 9 mai le 10 vaega le suega lelei.
Talanoaga:
Ina ia foia lenei faafitauli, e manaʻomia ona tatou fuafuaina le avanoa faʻaputu. O le avanoa e pasia ai e le itiiti ifo i le 9 mai le 10 vaega le suega o lona uiga tatou te fuafuaina \( P(X \geq 9) \), lea e mafai ona tusia e pei o:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Fa'aaogaina o le fua fa'atatau o le tufatufaina atu o le binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Muamua, fuafua le tuʻufaʻatasiga mo mataupu taʻitasi:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Ona, fuafua lea o avanoa mo \( P(X = 9) \) ma le \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 (0.95)^9 (0.05)
\]
\[
(0.95)^9 \approx 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 x 0.6302 x 0.05 x 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \approx 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Aofa'i o le avanoa mo \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approx 0.9138
\]
O lea la, o le avanoa e pasia ai e le itiiti ifo i le 9 mai le 10 vaega le suega lelei e tusa ma le 0.9138 poʻo le 91.38%.
Fa'ata'ita'iga Fesili 3: Taua Fa'amoemoeina ma le Eseesega
Fesili:
Fuafua le tau faʻamoemoeina ma le eseesega o le aofaʻi o vaega na pasia le suega lelei mai vaega e 10 na gaosia, faʻatasi ai ma le avanoa e pasia ai le 0.95.
Talanoaga:
Faaaoga le fua fa'atatau lenei:
– Tau faʻamoemoeina (averesi) \( \mu = np \)
– Eseesega \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Faatasi ai ma le \( n = 10 \) ma le \( p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
O lea la, o le tau faʻamoemoeina o le aofaʻi o vaega e pasia le suega lelei e 9.5, ma o le eseesega e 0.475.
I'uga
E ala i faʻataʻitaʻiga faʻafitauli e tolu o loʻo i luga, ua tatou talanoaina le auala e fuafua ai le avanoa e faʻaaoga ai le binomial distribution mo tulaga eseese: fuafuaina o le avanoa saʻo, faʻaputuga o le avanoa, ma le fuafuaina o le tau faʻamoemoeina ma le eseesega. O le malamalama i le binomial distribution e aoga i vaega eseese, e pei o le gaosiga, suʻesuʻega faafomaʻi, ma fuainumera lautele, lea e mafai ona iloiloina ai taunuuga o faʻataʻitaʻiga faifai pea ma ni taunuuga se lua e ono mafai ona maua e fesoasoani ai i le faia o faʻaiuga. E faʻamoemoe o faʻataʻitaʻiga faʻafitauli ma talanoaga o loʻo tuʻuina atu o le a fesoasoani e faʻalauteleina lou malamalama i le binomial distribution.
