Fa'ata'ita'iga o Fesili e Talanoaina ai Tulafono mo le Fa'atumuina o Avanoa
O le tulafono o le fa'atumuina o nofoaga, po'o le tulafono o le tu'uina atu, o se manatu fa'avae i le matematika ma le avanoa e matua aoga lava i le tele o tulaga. O lenei tulafono e masani ona fa'aaogaina i le tulaga o le fa'atulagaina o mea i se fa'asologa fa'apitoa po'o ni fa'atulagaga eseese. I totonu o lenei tusiga, o le a matou talanoaina ai ni fa'ata'ita'iga o fa'afitauli e aofia ai le tulafono o le fa'atumuina o nofoaga, ma tu'uina atu ai ni fofo auiliili mo tulaga ta'itasi.
Pendahuluan
O le fa'atumuina o avanoa o se metotia masani e fa'aaogaina i le combinatorics, o se matā'upu o le matematika e su'esu'e ai le fa'atulagaga, tu'ufa'atasiga, ma le filifilia o mea faitino. O se tasi o mataupu fa'avae autū o le combinatorics o le tulafono fa'atele, lea e fa'apea mai afai e tele ni la'asaga i se faiga ma e iai se aofa'i fa'apitoa o filifiliga i la'asaga ta'itasi, ona mafai lea ona maua le aofa'i atoa o fa'atulagaga e mafai ona faia e ala i le fa'atele o le aofa'i o filifiliga i la'asaga ta'itasi.
Mo se faʻataʻitaʻiga, afai e lua a tatou laʻasaga lea e iai filifiliga \(m\) i le laʻasaga muamua ma filifiliga \(n\) i le laʻasaga lona lua, o le aofaʻi atoa lea o faʻatulagaga e ono mafai ona faia o le \(m \times n\).
Se'i o tatou fa'aogaina lenei manatu e foia ai nisi o fa'afitauli.
Faataitaiga 1: Faatulagaina o Tusi i luga o se Fata
Fesili:
E 5 tusi eseese ma se fata tusi e 5 avanoa e faatumu. E fia auala e mafai ona faatulaga ai tusi e 5 i luga o le fata?
Talanoaga:
I lenei tulaga, e manaʻomia ona tatou faʻatulaga tusi e lima i ni avanoa eseese e lima. O se faʻafitauli lea o le faʻasologa o tusi ona e taua tele le faʻasologa. E mafai ona tatou faʻaaogaina le tulafono o le faʻatumuina o avanoa poʻo le tulafono o le faʻatelega e foia ai lenei faʻafitauli.
1. Mo le potu muamua, e 5 a matou filifiliga o tusi.
2. A uma ona tuu le tusi e tasi i le potu muamua, e totoe ni tusi e 4 mo le potu lona lua.
3. Mo le potu lona tolu, e tolu a tatou filifiliga tusi o totoe, ma faapena ai lava.
O le fua fa'atatau mo le aofa'i atoa o fa'atulagaga e:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
O lea la, e 120 auala e faʻatulaga ai tusi e lima.
Faataitaiga 2: Fausiaina o Upu mai Mataitusi Eseese
Fesili:
E fia upu eseese e mafai ona faia e faʻaaoga ai mataʻitusi uma i le upu "MATHEMATICS", e aunoa ma le toe faia?
Talanoaga:
E tatau muamua ona tatou vaʻai pe fia mataʻitusi o loʻo i le upu "MATHEMATICS." E 11 mataʻitusi, o nisi o ia mataʻitusi e toe taʻua. O mataʻitusi ia e toe taʻua:
– M e oo atu i le 2
– E oo atu i le 3
– E oo atu i le 2
– O isi mataitusi (E, I, K) e aliali mai faatasi.
Matou te faʻaaogaina le fua faʻatatau o suiga mo elemene toe fai, e pei o:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
lea o le \( n \) o le aofaʻi atoa o elemene (mataʻitusi) ma le \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) o le aofaʻi o toe fai o elemene taʻitasi.
Faatasi ai ma le upu “MATHEMATICS”:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
O le aofaʻi la o upu e mafai ona faia o le:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
E 1,663,200 upu eseese e mafai ona fausiaina.
Faʻataʻitaʻiga 3: Fuafuaina o le Numera o Tuufaatasiga i Martabak
Fesili:
O lo'o ofoina atu e se fa'atau martabak ni fa'atumu e lima (sisi, sukalati, pinati, fa'i, ma vine mago). Afai e mana'o se tagata fa'atau e filifili ni fa'atumu se tolu mai fa'atumu e lima mo lana martabak, e fia ni tu'ufa'atasiga eseese e mafai ona latou filifilia?
Talanoaga:
O se fa'afitauli tu'ufa'atasi lea, ae le o se fa'asologa, aua e le taua le fa'asologa. Matou te fa'aaogaina le fua fa'atatau tu'ufa'atasi:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
lea o le \(n \) o le aofaʻi atoa o filifiliga, ma le \(k \) o le aofaʻi o filifiliga na faia.
Mo lenei tulaga, \( n = 5 \) ma le \( k = 3 \), o lea la:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
E 10 tu'ufa'atasiga eseese e filifili ai anotusi e 3 mai filifiliga e 5.
Faataitaiga 4: Faatulagaga a le Auai i se Taaloga
Fesili:
E to'a 8 tagata auai i se tu'uga tamo'e. E fia auala e mafai ona tu'uina ai i latou e to'a 3 pito i luga?
Talanoaga:
O se fa'afitauli lea o le fesuia'iga e aunoa ma le toe faia soo auā o le tulaga o lona uiga e taua le fa'asologa. Matou te fa'aaogaina le fua fa'atatau o fesuia'iga:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Mo lenei tulaga, \( n = 8 \) ma le \( k = 3 \), ona:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
O lea la, e 336 auala e tuu ai tulaga pito i luga e tolu o tagata auai e toa 8.
I totonu o lenei tusiga, ua matou talanoaina ni faʻataʻitaʻiga o faʻafitauli ma a latou fofo e faʻaaoga ai tulafono o le faʻatumuina o avanoa i tulaga eseese: mai le faʻatulagaina o tusi i luga o se fata e oʻo atu i le fuafuaina o le manumalo i se tauvaga. O le malamalama i nei mea taua o le a avatu ai ia te oe le mautinoa i le foia o faʻafitauli eseese o le tuʻufaʻatasiga ma le ono mafai ona e feagai.
