Bernoullijev princip in enačba

Bernoullijev princip in gradivo o enačbah

KKo se z motorjem vozimo precej hitro, se nam oblačila na zadnji strani napihnejo. Če še ne znate voziti motorja, bodite pozorni na starše ali prijatelje, ki vozijo motorje. Njihov zadnji del oblačil se običajno napihne, ko motor vozi hitro. Včasih se lahko, ko močno piha veter, vrata hiše sama zaprejo. Čeprav veter piha zunaj hiše, so vrata v hiši.

To je mogoče razložiti z Bernoullijevim načelom. Daniel Bernoulli (1700–1782) je odkril načelo, s katerim je mogoče razložiti nekaj od zgoraj navedenega.

Bernoullijev princip

Bernoullijev princip pravi, da je tlak tekočine nizek tam, kjer je hitrost pretoka tekočine visoka. Nasprotno pa, če je hitrost pretoka tekočine nizka, se tlak poveča. Ko se motorno kolo premika hitro, je hitrost zraka pred in ob telesu visoka. Posledično se zračni tlak zniža. Zadnji del telesa je blokiran s sprednjim delom telesa, zato se hitrost zraka za telesom ne spremeni v visoko (tik za telesom). Posledično se zračni tlak za telesom poveča. Ker je zračni tlak tik za telesom večji, zrak potiska vašo majico nazaj, zaradi česar je videti, kot da je napihnjena na hrbtu.

Kaj pa vrata, ki se sama zaprejo, ko zunaj močno piha veter? Zunanji zrak se giblje hitreje kot notranji. Posledično je zunanji zračni tlak nižji od notranjega. Zaradi te tlačne razlike, kjer je notranji zračni tlak višji, se vrata potisnejo navzven. Z drugimi besedami, vrata se premaknejo iz mesta z višjim zračnim tlakom na mesto z nižjim zračnim tlakom.

Bernoullijeva enačba

Prej smo se seznanili z Bernoullijevim načelom. Bernoulli je to načelo razvil tudi kvantitativno. Za izpeljavo Bernoullijeve enačbe predpostavljamo ustaljen, laminaren tok tekočine, nestisljivost in nizko viskoznost, kar lahko zanemarimo.

Pri razpravi o enačbi kontinuitete smo se naučili, da se pretok tekočine lahko spreminja tudi glede na površino prečnega prereza pretočne cevi. Na podlagi zgoraj pojasnjenega Bernoullijevega principa se lahko tudi tlak tekočine spreminja glede na pretok tekočine. Tlak tekočine se lahko spreminja tudi glede na višino tekočine. Razmerje med tlakom, pretokom in višino pretoka lahko dobimo iz Bernoullijeve enačbe.

Bernoullijeva enačba je zelo pomembna, ker jo je mogoče uporabiti za analizo leta letal, hidroelektrarn, cevovodnih sistemov itd. Da bi Bernoullijeva enačba, ki jo bomo izpeljali, veljala na splošno, bomo predpostavili, da tekočina teče skozi pretočno cev z neenakimi prečnimi prerezi in tudi različnimi višinami (glejte spodnjo sliko). Za izpeljavo Bernoullijeve enačbe uporabimo izrek o delu in energiji za tekočino v območju pretočne cevi. Nato bomo izračunali količino tekočine in delo, opravljeno za premikanje tekočine.

Neprozorna barva v pretočni cevi na sliki kaže na pretok tekočine, bela barva pa na odsotnost tekočine.

Tekočina na prečnem prerezu 1 (leva stran) teče na razdalji L₁ in sili tekočino v prerezu 2 (desna stran), da se premakne za razdaljo L₂Ker je prečni prerez 2 na desni manjši, je pretok tekočine na desni strani pretočne cevi večji (spomnite se enačbe kontinuitete). To povzroči razliko tlakov med prečnim prerezom 2 (desna stran pretočne cevi) in prečnim prerezom 1 (leva stran pretočne cevi) – Spomnite se Bernoullijevega principa. Tekočina levo od prečnega prereza 1 izvaja tlak P₁ na tekočini na desni in opravlja delo:

Potem enačba W₁ lahko zapišemo kot:

W₁ = str₁ A₁ L₁

V prečnem prerezu 2 (desna stran pretočne cevi) je delo, opravljeno na tekočini:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Negativni predznak pomeni, da je uporabljena sila nasprotna smeri gibanja. Tekočina torej opravlja delo desno od odseka 2. Poleg tega na tekočino deluje tudi gravitacijska sila. V zgornjem primeru se določena masa tekočine premakne iz odseka 1 za razdaljo L.₁ prečkati prerez 2 do L₂, kjer je volumen tekočine v prečnem prerezu 1 (A₁ L₁) = volumen tekočine v prečnem prerezu 2 (A₂ L₂). Delo, ki ga opravi gravitacija, je:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

Negativni predznak je posledica pretoka tekočine navzgor, v nasprotni smeri od smeri gravitacije. Skupno delo, opravljeno na tekočini, kot je prikazano na zgornji sliki, je torej:

Š = Š₁ + W₂ + W₃

Š = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Izrek o delu in energiji pravi, da je skupno delo, opravljeno na sistemu, enako spremembi njegove kinetične energije. Zato lahko delo (W) nadomestimo s spremembo kinetične energije (EK).₂ ‐ EK₁).

Zgornjo enačbo lahko prepišemo kot:

Š = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mV₂² – 1⁄2 mV₁² = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Masa tekočine, ki teče na razdalji L₁ na prerezu A₁ = masa tekočine, ki teče na razdalji L₂ (prečni prerez A₂). Določena masa tekočine, recimo m, ima prostornino A.₁L₁ in A₂ L₂ kjer je A₁ L₁ =A₂ L₂ (L₂ daljši od L₁).

Sedaj nadomestimo oziroma nadomestimo m v zgornji enačbi z m = ρ AL:

To je Bernoullijeva enačba. Bernoullijevo enačbo smo izpeljali na podlagi načela dela in energije, zato je oblika zakona o ohranitvi energije.

Informacije:

P = Tlak

ρ = Gostota tekočine

v = hitrost pretoka tekočine

g = Pospešek zaradi gravitacije

h = Višina pretočne cevi/cevi od površine tal

Leva in desna stran zgornje Bernoullijeve enačbe se lahko nanašata na kateri koli dve točki vzdolž pretočne cevi, zato lahko zgornjo enačbo prepišemo kot:

Ta enačba pravi, da ima skupna vsota količin v enačbi enako vrednost po celotni pretočni cevi.

Sedaj pa si poglejmo Bernoullijevo enačbo za nekaj primerov.

Bernoullijeva enačba za mirujoče tekočine

Poseben primer Bernoullijeve enačbe so mirujoče tekočine (statične tekočine). Ko tekočina miruje, nima hitrosti. Torej v₁ = v₂ = 0. V primeru mirujoče tekočine lahko Bernoulijevo enačbo formuliramo kot:

Če h₂ - h₁ = h, potem lahko to enačbo zapišemo kot:

p₁ - str.₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - str.₂ = ρ gh

Bernoullijeva enačba za pretočne cevi ali cevi enake višine

Če je višina pretočne cevi enaka, se Bernoullijeva enačba spremeni v: