Gibanje projektila

Članek o gibanju izstrelka in vzorčne naloge z rešitvami

Začetna hitrost (v_o) in komponente začetne hitrosti (v_ox in v_oy)

Objekt, katerega parabolično gibanje ima vedno začetno hitrost. Ker je parabolično gibanje kombinacija gibanja v vodoravni in navpični smeri, ima začetna hitrost tudi vodoravno in navpično komponento.

Če se objekt giblje parabolično, kot je prikazano na slikah 1 in 3, potem je začetna hitrost v vodoravni smeri (v_ox) in začetna hitrost v navpični smeri (v_oy) se izračunajo z uporabo enačbe:

v_ox = v_o cos θ

v_oy = v_o greh θ

Če se objekt giblje parabolično, kot je prikazano na sliki 2, potem v_o = v_ox (v_oy = 0)

Hitrost (v)_x in v_y) in položaj (x in y)

Hitrost v horizontalni in vertikalni smeri v določenem časovnem intervalu se izračuna z enačbo:

v_x = v_ox = konstanta (enakomerno linearno gibanje)

v_y = v_oy + gt ali v_y² = v_oy² + 2 gh (gibanje v prostem padu)

Položaj objektov v horizontalni (x) in vertikalni (y) smeri v določenem časovnem intervalu se izračuna z enačbo:

x = v_ox t

y = v_oy t + 1⁄2 gt²

Rezultanta hitrosti (v) in položaja (h)

Rezultantna hitrost v določenem časovnem intervalu se izračuna z enačbo:

Smer objektov v določenem časovnem intervalu se izračuna z enačbo:

Opombe:

1. Horizontalna komponenta paraboličnega gibanja se obravnava kot enakomerno linearno gibanje, zato je vox = vx vedno konstanta

2. Navpična komponenta paraboličnega gibanja se obravnava kot gibanje prostega pada, zato če se objekt giblje parabolično, kot je prikazano na sliki 1 in 3, je navpična komponenta hitrosti objekta na največji višini nič (v_y = 0). Če vržete frnikol pokonci navzgor na največji višini, predmet za trenutek miruje (v_y = 0) preden se obrne navzdol. Zato je hitrost telesa, ki se premika po parabolični poti na največji višini = v_x = v_ox

3. Če se objekt giblje parabolično, kot je prikazano na sliki 2, se navpična komponenta paraboličnega gibanja obravnava kot gibanje prostega pada. Če se objekt giblje parabolično, kot je prikazano na slikah 1 in 3, se navpična komponenta paraboličnega gibanja obravnava kot navpično gibanje navzgor.

Vzorčne težave:

1. Krogla je izstreljena v vodoravni smeri z začetno hitrostjo 20 m/s. Če je puška 5 metrov nad tlemi, določite:

(a) čas v zraku

(b) največja višina

(c) vodoravna razdalja

(d) hitrost krogle, ko zadene tla

rešitev:

Gibanje v vodoravni smeri se analizira kot enakomerno linearno gibanje, gibanje v navpični smeri pa kot gibanje prostega pada.

znano:

v_ox = 20 m/s, v_oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s²

a) Čas v zraku

Rešitev je določitev časovnega intervala (t) v prostem padu.

znano: v_oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s²

Zaželeno: t

b) Največja višina

Največja višina = h = 5 metrov.

c) Vodoravna razdalja (d)

Rešitev je kot določanje razdalje pri enakomernem linearnem gibanju

znano: v_ox = 20 m/s, t = 1 2.

Zaželeno: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Hitrost, ko krogla zadene tla

v_tx = v_ox = 20 m/s

v_ty =?

Najprej izračunamo končno hitrost v navpični smeri (vty). Rešitev je podobna določanju končne hitrosti prostega pada.

znano: v_oy = 0, g = 9.8 m/s², t = 1 s

Zaželeno: v_ty

v_t = v_o + gt —> vo = 0

v_t = gt

v_t = (9.8 m/s²)(1 s)

v_t = 9.8 m/s

Hitrost krogle, ko zadene tla:

Smer krogle:

Ker v_tx je v smeri pozitivne osi x (desno) in v_ty je v smeri negativne osi y (navzdol),

smer krogle, ko zadene tla, je -26.1^o na pozitivno os x (glej spodnjo sliko).

2. Top je izstrelil kroglo v 30^o v vodoravno ravnino s hitrostjo 60 m/s. Določite:

(a) največja višina

(b) hitrost krogle na največji višini

(c) čas v zraku

(d) vodoravna razdalja

(e) hitrost krogle, ko zadene tla. Predpostavimo, da so tla ravna. 🙂

rešitev:

Gibanje v vodoravni smeri se analizira kot enakomerno linearno gibanje, gibanje v navpični smeri pa kot navpično gibanje navzgor.

znano: v_o = 60 m/s, theta = 30^o.

Na podlagi znanih podatkov najprej izračunamo vertikalo (v_oy) in horizontalno (v_ox) komponente začetne hitrosti (v_o).

a) Največja višina (h)

Rešitev je podobna določanju največje višine pri navpičnem gibanju navzgor.

znano:

v_ox = v_o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v_oy = v_o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Največja višina (v)

Rešitev je podobna določanju največje višine pri navpičnem gibanju navzgor.

znano:

v_oy = 30 m/s (to je začetna hitrost krogle)

v_ty = 0 m/s (Na največji višini je navpična hitrost krogle = 0 m/s. To je končna hitrost.)

g = –9.8 m/s²

Zaželeno: h

v_t² = v_o² + 2 gh

0² = 30² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 ur

900 = 19.6 ur

h = 900/19.6

v = 45.9 metrov

Največja višina, ki jo doseže krogla = 45.9 metra.

b) Hitrost na največji višini

Na največji višini je hitrost v navpični smeri = 0 m/s. Na največji višini je edina hitrost v vodoravni smeri. Hitrost v vodoravni smeri na največji višini je enaka začetni hitrosti v vodoravni smeri, ki znaša 52.2 m/s. Smer hitrosti v vodoravni smeri je vedno konstantna, torej v smeri pozitivne osi x (če je gibanje objekta opisano na zgornjem diagramu).

c) Čas v zraku

Rešitev je podobna določanju časovnega intervala (t) v razpravi o navpičnem gibanju navzgor.

znano:

v_oy = 30 m/s (to je začetna hitrost krogle v navpični smeri)

g = –9.8 m/s²

h = 0 m (ko se krogla vrne na tla, je premik krogle v navpični smeri = 0 m)

Zaželeno: t

h = v_o t + ½ gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s²) t²

0 = (30) t – 4.9 t²

(30) t = 4.9 t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekund

Čas v zraku = 6.12 sekunde

d) Vodoravna razdalja (d)

Rešitev je podobna določanju razdalje (d) pri enakomernem linearnem gibanju.

znano:

v_ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekund

Zaželeno: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekunde) = 319.5 m

e) Hitrost, ko krogla zadene tla

v_tx = v_ox = 52.2 m/s

v_ty =?

Najprej izračunamo končno hitrost v navpični smeri (v_ty). Rešitev je določiti končno hitrost pri navpičnem gibanju navzgor.

Zaželeno: v_oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s², t = 6.12 sekunde

Zaželeno: v_ty

v_ty = v_oy + gt

v_ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v_ty = (30) – (60)

v_ty = -30 m/s

Negativni predznak pomeni, da je smer končne hitrosti navzdol. Upoštevajte, da je začetna hitrost v navpični smeri enaka končni hitrosti v navpični smeri.

Hitrost krogle ob padcu na tla:

Smer krogle:

Od v._tx je v smeri pozitivne osi x (desno) in vty je v smeri negativne osi y (navzdol),

Smer hitrosti krogle ob padcu na tla je -30^o glede na pozitivno os x (glej spodnjo sliko).

3. Žoga je vržena z roba 50 metrov visoke stavbe z začetno hitrostjo 10 m/s. Če je žoga vržena pod kotom 30° glede na vodoravno ravnino, določite:

(a) časovni interval, v katerem žoga doseže tla

(b) hitrost žoge, ko udari ob tla

(c) vodoravna razdalja, ki jo lahko doseže žoga, se meri od roba stavbe

(d) največja višina, ki jo doseže žoga

rešitev:

Najprej izračunamo vertikalno komponento (v_oy) in horizontalna komponenta (v_ox) začetne hitrosti (v_o).

v_ox = v_o cos 30^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v_oy = v_o brez 30^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Časovni interval, v katerem žoga doseže tla

Rešitev je podobna določanju časovnega intervala (t) pri navpičnem gibanju navzgor. Velikost vektorja, katerega smer je navzgor, je izbrana kot pozitivna, velikost vektorja, katerega smer je navzdol, pa kot negativna. Položaj žoge, kamor je vržena, je izbran kot referenčna točka. h je negativen, ker je površina tal pod referenčno točko, g pa je negativen, ker je smer gravitacijskega pospeška navzdol.

znano:

v_oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s²

Zaželeno: t

h = v_o t + ½ gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t²

-5 = 5 t – 4.9 t²

-4.9t² + 5 t + 5 = 0

Uporabite kvadratno formulo:

Čas v zraku = časovni interval od vržene žoge do padca na tla = 1.64 sekunde.

b) Hitrost žoge ob udarcu ob površino tal

v_tx = v_ox = v_x = 8.7 m/s

v_ty =?

Najprej izračunamo končno hitrost v navpični smeri (v_ty). Rešitev je podobna določanju končne hitrosti pri navpičnem gibanju navzgor.

znano: v_oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s², t = 1.64 sekunde

Zaželeno: v_ty

v_ty = v_oy + gt

v_ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v_ty = 5 - 16

v_ty = -11 m/s

Negativni predznak pomeni, da je smer končne hitrosti navzdol.

Hitrost krogle ob padcu na tla:

Smer hitrosti krogle = smer gibanja krogle, ko zadene tla:

Hitrost krogle ob padcu na tla:

Ker je vtx v smeri pozitivne osi x (desno) in vty v smeri negativne osi y (navzdol),

Smer krogle ob zadetku tal je -52° glede na pozitivno os x (glej spodnjo sliko).

c) Vodoravna razdalja, ki jo lahko doseže žoga, se meri od roba stavbe

Rešitev je podobna določanju prevožene razdalje (d) pri enakomernem linearnem gibanju.

znano: t = 1.64 sekunde, v_x = 8.7 m/s

Zaželeno: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Največja višina, ki jo doseže žoga

znano: v_oy = 5 m/s, v_ty = 0 m/s (navpična komponenta hitrosti na največji višini = 0 m/s), g = -9.8 m/s².

Zaželeno: h

v_ty² = v_oy² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s)² + 2(-9.8 m/s²)(h)

0 m/s = 25 (m/s)² + (-19.6 m/s²)(h)

25 (m/s)² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s)² : -19.6 m/s² = 1.3 metra

Največja višina, ki jo doseže krogla = 1.3 metra nad vrhom stavbe = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra nad površino tal.