Dinamika tekočin – problemi in rešitve

Dinamika tekočin – problemi in rešitve

Torricellijev izrek

1. Posoda je napolnjena z vodo in ima luknjo , kot je prikazano na spodnji sliki. Če je gravitacijski pospešek 10 ms ^-2 , kolikšna je hitrost vode skozi to luknjo?

Znano:

Višina (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Išče se: Hitrost vode (v)

Rešitev:

Torricellijev izrek pravi, da voda zapusti luknjo z enako hitrostjo kot predmet, ki prosto pada z enake višine. Višina (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Hitrost vode se izračuna z enačbo prostega pada :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

2. Posoda je napolnjena z vodo in v njej je luknja, kot je prikazano na spodnji sliki. Če je gravitacijski pospešek 10 ms ^-2 , kolikšna je hitrost vode skozi to luknjo?

Znano:

Višina (v) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Išče se: Hitrost vode (v)

Rešitev:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

3. Posoda je napolnjena z vodo in v njej je luknja, kot je prikazano na spodnji sliki. Če je gravitacijski pospešek 10 ms ^-2 , kolikšna je hitrost vode skozi to luknjo?

Znano:

Višina (v) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Išče se: Hitrost vode (v)

Rešitev:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

4. Posoda je napolnjena z vodo in v njej je luknja, kot je prikazano na spodnji sliki. Če je gravitacijski pospešek 10 ms ^-2 , kolikšna je hitrost vode skozi to luknjo?

Znano:

Višina (v) = 20 cm = 0.2 metra

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 m/ ^s²

Išče se: Hitrost vode (v)

Rešitev:

5. Posoda je napolnjena z vodo in ima dve luknji , kot je prikazano na spodnji sliki. Kakšno je razmerje med x ₁ in x ₂?

Rešitev

Časovni interval prostega padca vode iz luknje 1:

h = 1/2 pri ²

0.8 = 1/2 (10) ^t²

0.8 = 5 t ²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 sekund

Časovni interval prostega padca vode iz luknje 2:

h = 1/2 pri ²

0.5 = 1/2 (10) ^t²

0.5 = 5 t ²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 sekunde

Horizontalna razdalja (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metra

x² = v² _{t² =} (√10 ) (√0.1) = (10)(0.1) = 1 _meter

Razmerje med x ₁ in x ₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Enačba kontinuitete

6. Voda teče skozi cev z različnim premerom, od A do B in nato do C. Razmerje med A in C je 8 : 3. Če je hitrost vode v cevi A v, kolikšna je hitrost vode v cevi C?

Znano:

Območje A (A_A) = 8

Površina C (A _C ) = 3

Hitrost vode v cevi A (v _A ) = v

Iščem: Hitrost vode v cevi C (v _C )

Rešitev:

Enačba kontinuitete:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Če je hitrost vode v cevi s premerom 12 cm 10 cm/s, kolikšna je hitrost vode v cevi s premerom 8 cm?

Znano:

Premer 1 (d² ₎ = 12 cm, polmer 1 ( _r² ) = 6 cm

Premer 2 (d² ₎ = 8 cm, polmer 2 ( _r² ) = 4 cm

Hitrost vode 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Išče se: Hitrost vode 2 (v ₂ )

Rešitev:

Površina 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Površina 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Enačba kontinuitete:

A1 proti ₁ = _A2 proti _2​

(36π)(10) = (16π) _⁻²

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) proti ₂

v ₂ = 360/16

v2 = 22.5 cm/ _s

8. Voda teče skozi cev z različnim premerom, kot je prikazano na spodnji sliki. Če je površina 1 (A1 ₎ = 8 cm2 ^, A2 ₌ 2 cm2 ⁱⁿ hitrost vode v cevi 2 = v2 ₌ 2 m/s, potem kolikšna je hitrost vode v cevi 1 = _v1.

Znano:

Območje 1 (A₁) = 8 cm²

Površina 2 (A² ₎ = 2 ^cm²

Hitrost vode v cevi 2 (v ₂ ) = 2 m/s

Iščemo: hitrost vode v cevi 1 (v ₁ )

Rešitev:

Enačba kontinuitete:

A1 proti ₁ = _A2 proti _2​

8 proti ₁ = (2)(2)

8 proti ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Če je premer večje cevi 2-krat večji od premera manjše cevi, kolikšna je hitrost tekočine v manjši cevi?

Znano:

Premer večje cevi (d₁) = 2

Polmer večje cevi (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Površina večje cevi ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Premer manjše cevi (d² ₎ = 1

Polmer manjše cevi (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Površina manjše cevi ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Hitrost tekočine pri večji cevi ( v1 ₎ = 4 m/s

Iščemo: Hitrost tekočine v manjši cevi ( v2 ₎

Rešitev:

Enačba kontinuitete:

A1 proti ₁ = _A2 proti _2​

π4 = ¼π( _v2 )

4 = ¼ ( _v² )

v2 ₌ 8 m/s

Bernoullijev princip in enačbe

10. Voda se črpa s kompresorjem 120 kP , ki vstopa v spodnjo cev (1) in teče navzgor s hitrostjo 1 m/ s. Pospešek zaradi gravitacije je 10 m/ s , gostota vode pa je 1000 kg/m⁻³ ^. Kolikšen je tlak vode na zgornji cevi (II ).

Znano:

Polmer spodnje cevi (r₁) = 12 cm

Polmer spodnje cevi (r² ₎ = 6 cm

Tlak vode v spodnji cevi (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascalov

Hitrost vode v spodnji cevi (v ₁ ) = 1 ms ^-1

Višina spodnje cevi (h1 ₎ = 0 m

Višina zgornje cevi (h² ₎ = 2 m

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gostota vode = 1000 kg.m ^-3

Iščem: Tlak vode v cevi 2 ( _p2 )

Rešitev:

Hitrost vode v cevi 2 se izračuna z enačbo kontinuitete:

Tlak vode v cevi 2 se izračuna z uporabo Bernoullijeve enačbe:

11. Velika cev je 5 metrov nad tlemi, majhna cev pa 1 meter nad tlemi. Hitrost vode v veliki cevi je 36 km/h s tlakom 9.1 x 10⁶ ^Pa , medtem ko je tlak v majhni cevi 2.10⁶ ^Pa . Kakšna je hitrost vode v majhni cevi? Gostota vode = ^10⁶ kg/ ^m³

Znano:

Tlak vode v veliki cevi (p₁) = 9.1 x 10⁵ Pascal = 910,000 pascalov

Tlak vode v majhni cevi (p² ₎ = 2 x 10⁶ ^Pascalov = 200,000 Pascalov

Hitrost vode v veliki cevi (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Višina velike cevi (h ₁ ) = -4 metre

Višina majhne cevi (h² ₎ = 0 metrov

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gostota vode = 1000 kg/ ^m³

Iščem: Hitrost vode v majhni cevi (v ₂ )

Rešitev:

Hitrost vode v majhni cevi (v2 ₎ se izračuna z uporabo Bernoullijeve enačbe:

12. Cev s polmerom 15 cm je povezana z drugo cevjo s polmerom 5 cm. Obe sta v vodoravnem položaju. Hitrost toka vode v veliki cevi je 1 m/s pri tlaku 105 ^N / m² . Kolikšen je tlak vode na majhni cevi (1 g ^cm⁻³ )^?

Znano:

Polmer velike cevi (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Polmer majhne cevi (r² ₎ = 5 cm = 0.05 m

Vodni tlak v veliki cevi (p1 ₎ = 105 ^N m⁻² ⁼ 100.000 N ^m⁻²

Hitrost vode v veliki cevi (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Pospešek zaradi gravitacije (g) = 10 ms ^-2

Gostota vode = 1 gr cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Višinska razlika (Δh) = 0.

Želeno: Tlak v majhni cevi ( _p2 )

Rešitev:

Hitrost vode v cevi 2 se izračuna z uporabo enačbe kontinuitete:

Tlak vode v majhni cevi (p² ₎ se izračuna z uporabo Bernoullijeve enačbe:

1. Kaj je dinamika tekočin?
   • Odgovor: Dinamika tekočin je veja fizike, ki preučuje gibanje tekočin (tekočin in plinov) in sile, ki delujejo nanje. Zajema načela in enačbe, ki opisujejo, kako tekočine tečejo, kako interagirajo s trdnimi mejami in kako vplivajo druga na drugo.
2. Kakšna je razlika med laminarnim in turbulentnim tokom?
   • Odgovor: Laminarni tok je značilen po gladkih, vzporednih plasteh tekočine, ki se premikajo po urejenih poteh. Turbulentni tok pa je kaotičen, z vrtinci, vrtinci in hitrimi nihanji. Turbulenca se običajno pojavlja pri visokih hitrostih ali v nepravilno oblikovanih kanalih.
3. Kako pomemben je koncept viskoznosti v dinamiki tekočin?
   • Odgovor: Viskoznost meri odpornost tekočine na striženje ali pretok. Tekočine z visoko viskoznostjo (kot je med) se pretoku bolj upirajo kot tekočine z nizko viskoznostjo (kot je voda). V dinamiki tekočin ima viskoznost ključno vlogo pri določanju narave toka tekočine, disipacije energije in sil upora.
4. Kaj je Bernoullijev princip?
   • Odgovor: Bernoullijev princip pravi, da v ustaljenem toku vsota tlačne energije, kinetične energije in potencialne energije na enoto prostornine ostane konstantna, natančneje, kjer je hitrost tekočine visoka, je tlak nizek in obratno.
5. Kakšna je povezava med načelom vzgona v aerodinamiki in dinamiko tekočin?
   • Odgovor: Vzgon na letalskem krilu lahko razložimo z Bernoullijevim načelom in Newtonovim tretjim zakonom. Ko zrak teče čez krilo, se hitreje giblje čez ukrivljeno zgornjo površino kot čez spodnjo, kar ustvarja razliko v tlaku. Ta razlika v tlaku, skupaj z odklonom zraka navzdol s strani krila, povzroči silo navzgor ali vzgon.
6. Kakšna je enačba kontinuitete v dinamiki tekočin?
   • Odgovor: Enačba kontinuitete pravi, da produkt prečnega prereza (A) toka in njegove hitrosti (v) ostane konstanten vzdolž tokovnice v ustaljenem toku. Matematično gledano, A₁​v_1​=A₂​v₂​, Kjer A_1​ in A₂​ so površine prečnega prereza in v₁​ in v_2​ so hitrosti na dveh točkah vzdolž tokovnice.
7. Kakšno vlogo ima Reynoldsovo število v dinamiki tekočin?
   • Odgovor: Reynoldsovo število je brezdimenzijska količina, ki pomaga napovedati režim toka (laminarni, prehodni ali turbulentni) v dinamiki tekočin. Opredeljeno je kot razmerje med inercialnimi silami in viskoznimi silami ter je odvisno od dejavnikov, kot so hitrost tekočine, karakteristična dolžina in lastnosti tekočine.
8. Kako deluje sila upora na predmete, ki se gibljejo v tekočini?
   • Odgovor: Sila upora nasprotuje gibanju predmeta skozi tekočino. Nastane zaradi viskoznega upora tekočine in razlik v tlaku okoli predmeta. Velikost in narava upora sta odvisni od dejavnikov, kot so oblika predmeta, hrapavost, hitrost in lastnosti tekočine.
9. Kaj je Venturijev učinek?
   • Odgovor: Venturijev učinek se nanaša na zmanjšanje tlaka tekočine, ki se pojavi, ko tekočina teče skozi zožen del cevi. Ko se hitrost tekočine v zoženem delu poveča (zaradi ohranitve mase), se njen tlak zmanjša v skladu z Bernoullijevim zakonom.
10. Zakaj se tekočina pospeši, ko teče skozi ozek del cevi ali kanala?

• Odgovor: To vedenje je mogoče razložiti z načelom ohranitve mase. Pri ustaljenem toku mora biti volumen tekočine, ki vstopa v del cevi, enak volumnu, ki izstopa. Če je cev ozka, se mora tekočina pospešiti, da lahko v danem času preteče enak volumen.