Članek o enačbi kontinuitete
Poskusite počasi odpreti pipo za vodo in pri tem bodite pozorni na hitrost vode, ki priteka iz ustja pipe. Zdaj primerjajte, kje je pretok vode večji, ko je ustje pipe zaprto ali ne? Zakaj je tako? Da bi to razumeli, preučite enačbo kontinuitete.
Poenostaviti
V ustaljenem toku je hitrost vsakega delca tekočine v točki, recimo točki A, vedno enaka. Pri prehodu mimo točke B se hitrost delcev tekočine lahko spremeni. Ko pa delci tekočine, ki sledijo za njimi, tečejo z enako hitrostjo kot delci tekočine, ki jim sledijo. Enako velja za točko C in tako naprej. Pretočna črta je krivulja, ki povezuje točke A, B in C.
Pretočna cev
Vsako tokovnico lahko opišemo skozi vsako točko v toku tekočine. Če zaznavamo enakomeren tok tekočine, potem nekaj tokovnic, ki potekajo pod določenim kotom na namišljeni površini, tvori pretočno cev. Noben delček tekočine se ne seka, ampak so vedno vzporedni, pretočna cev pa bo podobna cevi, katere oblika je še vedno enaka. Tekočina, ki vstopa na enem koncu cevi, bo iz cevi izstopala na drugem koncu.
Obremenitev
Pretok izraža volumen tekočine, ki teče skozi določen presek v določenem časovnem intervalu. Matematično ga lahko izrazimo:
Izpust = Prostornina tekočine / časovni interval
Q = V/t
Za boljše razumevanje uporabimo primer. Na primer, tekočina teče skozi cev. Cevi so običajno valjaste in imajo določen prečni prerez. Cev ima tudi dolžino.
Ko tekočina teče v cevi do dolžine L, je volumen tekočine v cevi V = AL (V = volumen tekočine, A = površina prečnega prereza in L = dolžina cevi). Ker tekočina, dokler teče v cevi vzdolž dolžine L, potrebuje določen časovni interval, lahko rečemo, da je količina tekočine:
Ker je v = s / t = L / t —> L = vt, se zgornja enačba spremeni v:
Ko torej tekočina teče skozi cev z določeno površino prečnega prereza in dolžino, je količina iztoka tekočine (Q) enaka površini prečnega prereza (A), pomnoženi s hitrostjo pretoka tekočine (v).
Enačba kontinuitete
Preglejte pretok tekočine v cevi z različnim premerom, kot je prikazano na spodnji sliki.
Ta slika prikazuje pretok tekočine od leve proti desni (tekočina teče iz cevi velikega premera v cev majhnega premera). Črtkana črta je poenostavljena.
A1 = površina prečnega prereza cevi velikega premera, A2 = površina prečnega prereza majhnega premera, v1 = hitrost pretoka tekočine v cevi velikega premera, v2 = hitrost pretoka tekočine v cevi majhnega premera, L = razdalja, ki jo tekočina prepotuje.
V ustaljenem toku je hitrost toka delcev tekočine v določeni točki enaka hitrosti toka drugih delcev tekočine, ki prehajajo skozi to točko. Tok tekočine se tudi ne seka (črtice so vzporedne). Zato mora biti masa tekočine, ki vstopi v en konec cevi, enaka masi tekočine, ki izstopa na drugem koncu. Če ima tekočina določeno maso, ki prihaja v cev z velikim premerom, potem bo tekočina izstopala po cevi z majhnim premerom in enako maso.
Zdaj pa si oglejte zgornjo sliko cevi. Preglejte cev velikega premera in cev majhnega premera.
V določenem časovnem intervalu skozi del cevi z velikim premerom (A) teče nekaj tekočin1) do L1 (L1 = v1 t). Prostornina tekočine, ki teče, je V1 =A1 L1 =A1 v1 t. V istem časovnem intervalu skozi cev z majhnim premerom (A) tečejo tudi druge tekočine2) do L2 (L2 = v2 t). Prostornina tekočine, ki teče, je V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Enačba kontinuitete za nestisljive tekočine
V nestisljivih tekočinah je gostota tekočine vedno enaka na vsaki točki, skozi katero teče. Masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A1 (velik premer cevi) v določenem časovnem intervalu, je:
Prav tako masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A2 (majhen premer cevi) v določenem časovnem intervalu je:
V ustaljenem toku je masa vhodne tekočine enaka masi tekočine, ki izstopa, zato:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
A1 v1 =A2 v2
Torej, enačba kontinuitete v nestisljive tekočine:
A1 v1 =A2 v2 — Enačba 1
A1 = površina prečnega prereza 1, A2 = površina prečnega prereza 2, v1 = hitrost pretoka tekočine v odseku 1, v2 = hitrost pretoka tekočine v odseku 2, A v = pretok prostornine (V / t) = izpust.
Enačba 1 kaže, da je pretok na vsaki točki vzdolž cevi ali pretočne cevi vedno enak. Ko se presek cevi zmanjša, se pretok tekočine poveča, medtem ko se pri povečanju preseka cevi pretok tekočine zmanjša.
Ko je del ustja pipe zaprt, postane pretok vode močnejši kot takrat, ko del ustja pipe ni zaprt. To je zato, ker se prečni prerez pipe zmanjša, ko je del ustja pipe zaprt, zato se pretok vode poveča. Vendar je bistveno vedeti, da je pretok ali izpust tekočine na vsaki točki vzdolž toka vode vedno enak, ne glede na to, ali je del ustja naše pipe zaprt ali ne. Kaj se torej spremeni pri pretoku tekočine?
Kaj pa pretok vode v reki? Globok del reke ima večji presek kot plitev del reke, zato je hitrost pretoka vode v globoki reki manjša od hitrosti pretoka vode v plitvem delu reke.
Enačba kontinuitete za stisljive tekočine
Pri stisnjeni tekočini gostota tekočine ni vedno enaka. Z drugimi besedami, gostota tekočine se pri stiskanju spreminja. Če tekočina ni stisnjena, se gostota tekočine odstrani iz enačbe, zato je v tem primeru gostota tekočine vključena v enačbo. Glede na prej izpeljano enačbo izpeljimo enačbo za stisnjeno tekočino.
Masa tekočine, ki vstopi, je enaka masi tekočine, ki izstopi, torej:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Interval pretoka tekočine je enak, zato ga je mogoče izločiti. Enačbe se spremenijo v:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Enačba 2
To je enačba za stisnjeno tekočino. Razlika je v gostoti tekočine. Če je tekočina stisnjena, se gostota spremeni. Nasprotno, če tekočina ni stisnjena, je gostota vedno enaka, zato jo je mogoče izločiti iz enačbe.
Primer problema 1:
Voda teče skozi cev s premerom 10 cm s hitrostjo 2 m/s. Kolikšen je pretok vode?
Znano:
Premer cevi = 10 cm
Polmer cevi (r) = 5 cm = 0.05 m
Hitrost vode (v) = 2 m/s
Išče se: Obremenitev
Rešitev:
Q = A v
Q = (πr2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157 m3/s
Primer problema 2:
Cev s premerom 20 cm je priključena na drugo cev s premerom 10 cm. Če je hitrost vode v cevi s premerom 20 cm 4 m/s, kolikšna je hitrost vode v cevi s premerom 10 cm?
Znano:
Premer 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Premer 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0.05 m)
Išče se: v1
Odgovor:
Q1 = Q2
A1 v1 =A2 v2
(πr12) (4 m/s) = (πr22) (v2)
(0.1 m)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(0.01 m2)(4 m/s) = (0.0025 m2)(v2)
(0.04 m3 /s) = (0.0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
