Članek o Bernoullisovem principu in Bernoullisovi enačbi
Ko se vozimo z motorjem, so oblačila, ki jih nosimo, napihnjena nazaj. Včasih se lahko vrata, če močno piha veter, sama zaprejo. Čeprav veter piha zunaj hiše, so vrata v hiši.
To je mogoče razložiti z Bernoullijevim načelom. Daniel Bernoulli (1700–1782) je odkril načelo, s katerim bi lahko razložili zgornji pojav.
Bernoullijevo načelo
Bernoullijev princip pravi, da je tlak tekočine nizek, kadar je hitrost pretoka tekočine visoka. Nasprotno pa je tlak tekočine visok, če je hitrost pretoka tekočine nizka. Ko se motorno kolo premika hitro, je hitrost zraka na sprednji in stranski strani telesa visoka. Posledično se zračni tlak zniža. Zadnji del telesa je oviran s sprednjim delom telesa, zato se hitrost zraka na zadnji strani telesa ne poveča. Posledično se zračni tlak na zadnji strani telesa poveča. Ker je zračni tlak na zadnji strani telesa višji od tlaka zraka, se vaša majica potisne nazaj, tako da so vaša oblačila videti napihnjena nazaj.
Kaj pa hišna vrata, ki se sama zaprejo, ko veter piha zunaj hiše? Zrak zunaj hiše se giblje hitreje kot zrak v hiši. Posledično je zračni tlak zunaj hiše manjši od zračnega tlaka v hiši. Ker obstaja razlika v tlaku, kjer je zračni tlak v hiši večji, se vrata potisnejo navzven. Z drugimi besedami, vratno krilo se premakne z mesta, kjer je zračni tlak velik, proti mestu, kjer je zračni tlak majhen.
Bernoullijeva enačba
Prej smo se že učili o Bernoullijevem načelu. Bernoulli je načelo razvil tudi kvantitativno. Za izpeljavo Bernoullijeve enačbe predpostavimo, da je tok tekočine stalen in laminaren, nestisnjen, viskoznost pa minimalna, zato jo lahko zanemarimo.
Pri razpravi o enačbi kontinuitete smo se naučili, da se lahko pretok tekočine spreminja tudi glede na pretočno površino pretočne cevi. Na podlagi zgoraj opisanega Bernoullijevega principa se lahko tudi tlak tekočine spreminja glede na pretok tekočine. Tlak tekočine se lahko spreminja tudi glede na višino tekočine. Razmerje med tlakom, pretokom in višino pretoka lahko dobimo z Bernoullijevo enačbo.
Bernoullijeva enačba je ključnega pomena, ker jo je mogoče uporabiti za analizo poletov letal, hidroelektrarn, cevovodnih sistemov itd. Za izpeljavo Bernoullijeve enačbe na splošno predpostavimo, da tekočina teče skozi pretočno cev s prečnim prerezom, ki ni enaka, in višina je prav tako različna. Za izpeljavo Bernoullijeve enačbe uporabimo izrek o delu in energiji za tekočino v pretočni cevi.
Neprozorna barva v pretočni cevi na spodnji sliki prikazuje pretok tekočine, bela barva pa ne prikazuje tekočine.
Tekočina v prečnem prerezu 1 (leva stran) teče do L1 in sili tekočino v prerezu 2 (desna stran), da se premakne do L2 . Ker je prečni prerez 2 na desni manjši, je hitrost toka tekočine na desni strani pretočne cevi večja (spomnite se enačbe kontinuitete). To povzroči razliko tlakov med prerezom 2 (desna stran pretočne cevi) in prerezom 1 (leva stran pretočne cevi) – Spomnite se Bernoullijevega principa. Tekočina, ki je levo od prereza 1, povzroča tlak (P1 ) na tekočino na desni in opravlja delo:
Potem lahko enačbo W1 zapišemo:
W1 = p1A1L1
V 2. delu (desna stran pretočne cevi) je delo, opravljeno na tekočini:
W² = −p²A²L²
Negativni predznak pomeni, da deluje sila v nasprotni smeri gibanja. Torej tekočina opravlja delo desno od prečnega prereza 2. Poleg tega gravitacijska sila opravlja delo na tekočino. V zgornjem primeru se nekatere mase tekočine prenesejo iz prereza 1 do L1 v prerez 2 do L2 , kjer je prostornina tekočine v prerezu 1 (A1L1 ) = prostornina tekočine v prerezu 2 (A2L2 ) . Delo , ki ga opravi gravitacija, je :
W³ = −mg( h² − h¹ )
W3 = −mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Negativni predznak povzroči tok tekočine navzgor, v nasprotju s smerjo gravitacije. Neto delo, opravljeno na tekočini, je torej:
Š = Š1 + Š2 + Š3
Š = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Izrek o delu in energiji pravi, da je neto delo, opravljeno na sistemu, enako spremembi kinetične energije. Zato lahko delo (W) nadomestimo s spremembami kinetične energije (EK² – EK¹ ).
Zgornjo enačbo lahko zapišemo še enkrat:
Š = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Masa tekočine, ki teče do L1 v prerezu A1 = masa tekočine, ki steče do L2 (prečni prerez A2). Masa tekočine, recimo m, ima prostornino A1 L1 in A2 L2 kjer je A1 L1 =A2 L2 (L2 je daljši od L1).
Sedaj nadomestimo m v zgornji enačbi z m = ρ AL:
To je Bernoullijeva enačba. Bernoullijeva enačba je izpeljana na podlagi načela dela in energije, zato je oblika ohranitve energije.
P = tlak, ρ = gostota, v = hitrost tekočine, g = gravitacijski pospešek, h = višina cevi nad tlemi.
Levi in desni del zgornje Bernoullijeve enačbe se lahko nanašata na dve točki kjer koli vzdolž pretočne cevi, tako da lahko zgornjo enačbo prepišemo v:
Sedaj pa si poglejmo Bernoullijevo enačbo za nekaj primerov.
Bernoullijeva enačba v statičnih tekočinah
Poseben primer Bernoullijeve enačbe je za statično tekočino, kjer tekočina nima hitrosti. Torej je v 1 = v 2 = 0. V primeru statične tekočine lahko Bernoullijevo enačbo formuliramo kot:
Če je h² – h¹ = h, lahko to enačbo zapišemo kot:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullijeva enačba na cevi enake višine
Če je višina cevi enaka, se Bernoullijeva enačba spremeni v:
