Imenuje se Poiseuillova enačba, ker jo je odkril pokojni Jean Louis Marie Poiseuille (1799–1869). Kot je bilo pojasnjeno, lahko vsako tekočino štejemo za idealno tekočino. Idealne tekočine nimajo viskoznosti. Če si predstavljamo idealno tekočino, ki teče v cevi, se vsak del tekočine giblje z enako hitrostjo (v). Za razliko od idealnih tekočin imajo resnične tekočine oziroma tekočine, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju, viskoznost. Ker imajo viskoznost, se na primer pri toku v cevi hitrost vsakega dela tekočine spreminja. Plast tekočine na sredini se giblje hitreje (v je velik), medtem ko se plast tekočine, pritrjena na cev, ne giblje, oziroma miruje (v = 0). Torej se od središča do roba cevi vsak del tekočine giblje z različnimi hitrostmi. Za lažje razumevanje si oglejte spodnjo sliko ...
Informacije:
R = polmer cevi/cevi
v 1 = pretok tekočine v središču/osi cevi
v 2 = pretok tekočine na razdalji r 2 od roba cevi
v 3 = pretok tekočine na razdalji r 3 od roba cevi
v 4 = pretok tekočine na razdalji r 4 od roba cevi
r = razdalja
Da bi zagotovili enak pretok vsake tekočine, mora biti na obeh koncih cevi ali cevke, skozi katero teče tekočina, razlika v tlaku. S tekočino tukaj mislimo na dejanske tekočine, kot so voda ali olje, ki teče skozi cev, kri, ki teče skozi krvne žile itd. Poleg tega, da pomagajo pri nemotenem pretoku prave tekočine, lahko razlike v tlaku omogočijo tudi pretok tekočin v ceveh na različnih višinah.
Jean Louis Marie Poiseuille, nekdanji francoski znanstvenik, ki se je zanimal za fizikalne vidike človeškega krvnega obtoka, je izvedel raziskavo, s katero je raziskal, kako dejavniki, kot so razlike v tlaku, površina prečnega prereza cevi in velikost cevi, vplivajo na hitrost realne tekočine. Rezultati, ki jih je pridobil Jean Louis Marie Poiseuille, so znani kot Poiseuilleova enačba.
Poiseuilleovo enačbo lahko izpeljemo z uporabo prej izpeljane enačbe koeficienta viskoznosti. Enačbo viskoznosti uporabljamo, ker je primer podoben, čeprav ne enak. Pri izpeljavi enačbe koeficienta viskoznosti upoštevamo tok realne plasti tekočine med dvema vzporednima ploščama, pri čemer se tekočina lahko premika zaradi natezne sile (F). Razlika je v tem, da Poiseuilleova enačba, ki jo bomo izpeljali, dejansko navaja dejavnike, ki vplivajo na tok realne tekočine v cevi/cevi, tekočina pa teče zaradi tlačnih razlik. Zato je treba enačbo koeficienta viskoznosti ponovno prilagoditi.
Tekočine lahko tečejo zaradi razlik v tlaku (tekočine tečejo iz mest z visokim tlakom v mesta z nizkim tlakom), zato F nadomestimo s p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Pri izpeljavi enačbe za koeficient viskoznosti upoštevamo tok realne plasti tekočine med dvema vzporednima ploščama. Vsak del tekočine doživi pravilno spremembo hitrosti za razdaljo l. V tem primeru se pretok tekočine pravilno spreminja od osi cevi do roba cevi. Tekočina na osi cevi teče z večjo hitrostjo (v). Dlje kot je proti robu, hitrost tekočine se zmanjšuje. Polmer cevi = razdalja med osjo cevi in robom cevi = R. Razdalja med vsakim delom tekočine in robom cevi = r. Ker je število posameznih delov tekočine zelo veliko in se spreminja tudi njihova oddaljenost od roba cevi, to preprosto zapišemo takole:
v 1 = hitrost tekočine na razdalji r1 od roba cevi (r1 = R)
v 2 = hitrost tekočine na razdalji r2 od roba cevi (r2 < r1)
v 3 = hitrost tekočine na razdalji r3 od roba cevi (r3 < r2 < r1)
v 4 = hitrost tekočine na razdalji r4 od roba cevi (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = hitrost tekočine na razdalji rn od roba cevi (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Število posameznih delov tekočine je zelo veliko in tudi ne vemo natančno, koliko jih je v resnici, zato je dovolj, da jih zapišemo s simbolom n. Vsak del tekočine se od osi cevi (r1 = R) do roba cevi (rn) redno spreminja v hitrosti (v). Od osi cevi (r1 = R) do roba cevi (rn) se hitrost posameznih delov tekočine zmanjšuje (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
Iz zgornje razlage lahko sklepamo, da se od R do rn pretok tekočine zmanjšuje. Dolžina cevi = L. Dobljena enačba je:
Ker upoštevamo hitrost (v) pretoka tekočine, enačba 2 postane:
To je enačba za pretok tekočine na razdalji r od cevi s polmerom R. Če ste pri pogledu na zgornjo sliko zmedeni ... Upoštevajte, da tekočina teče v cevi ali cevki, zato moramo pregledati volumski pretok tekočine.
V notranjosti cevi je tekočina. Tekočino na primer razdelimo na zelo majhne koščke, kjer ima vsak košček enoto površine dA, je oddaljen od osi cevi in ima pretok v. Matematično lahko to zapišemo takole:
dA1 = presek tekočine 1, ki je oddaljen 1 od osi cevi
dA2 = presek tekočine 2, ki je oddaljen 2 od osi cevi
dA3 = presek tekočine 3, ki je oddaljen 3 od osi cevi
..................................
dA n = presek tekočine n, ki je oddaljenost dA n od osi cevi
Tekočin je toliko, da jih je priročno preprosto zapisati s simbolom n. Volumski pretok vsakega tekočinskega kosa lahko matematično zapišemo na naslednji način:
Vsak košček tekočine je na razdalji od r = 0 do r = R (R = polmer cevi). Z drugimi besedami, razdalja vsakega koščka tekočine se spreminja, če jo merimo od osi cevi. Če se poigramo z integracijo, bomo dobili enačbo za volumski pretok tekočine v cevi:
Informacije:
Q = Debet
R = notranji polmer cevi
η = koeficient viskoznosti
P1 – p2 = Razlika tlaka med obema koncema cevi
L = dolžina cevi
p1 -p2 / L = Gradient tlaka (tok tekočine vedno poteka v smeri padajočega tlaka )
Na podlagi zgornje Poiseuilleove enačbe je razvidno, da je prostorninski pretok tekočine, imenovan tudi izpust (Q), sorazmeren s četrto potenco polmera cevi (R4 ) , gradientom tlaka (p2 – p1 / L) in obratno sorazmeren z viskoznostjo. Če se polmer cevi poveča (koeficient viskoznosti in gradient tlaka ostaneta konstantna), se pretok tekočine poveča za faktor 16.
Osnovni koncept načrtovanja cevi, brizg in drugih stvari uporablja to enačbo. Pretok tekočine je sorazmeren z R4 ( R = polmer cevi). Polmer brizge ali polmer cevi je treba skrbno izračunati. Če na primer podvojimo polmer igle (r x 2), potem pretok tekočine, ki brizga, = poveča silo pritiska palca za 16-krat.
Poiseuilleova enačba tudi kaže, da je četrta potenca polmera (r4 ) obratno sorazmerna z razliko v tlaku med obema koncema cevi. Na primer, kri sprva teče v krvni žili z notranjim polmerom r. Če pride do zožitve krvne žile (na primer, r/2 = notranji polmer krvne žile se zmanjša za 2-krat), je potrebna 16-kratna razlika v tlaku, da kri teče kot prej (tako da pretok krvi oziroma volumen krvi ostane konstanten).
