Enačba kontinuitete

Gradivo za enačbo kontinuitete

Počasi odprite pipo za vodo in opazujte pretok vode, ki priteka iz pipe. Ko se pipa neha vrteti, jo delno zaprite z roko. Zdaj primerjajte, kateri pretok vode je večji. Kdaj je delno zamašena ali odmašena? Če imate cev, ki se običajno uporablja za zalivanje rož, pustite, da voda teče skoznjo. Cev delno zamašite z roko ali prstom. Večji del cevi, ki je zamašen, hitreje bo voda odtekala. Nasprotno, če cev ni zamašena, bo voda tekla počasneje. Zakaj je temu tako? Da bi to razumeli, preučite enačbo kontinuitete.

Tokovnice in pretočne cevi

Najprej si poglejmo koncepta tokovnic in pretočnih cevi. Ta koncept je pomemben, ker vam bo pomagal razumeti enačbo kontinuitete.

Linija toka

Poglejte spodnjo sliko, modra črta je linija toka.

Pri ustaljenem toku hitrost vsakega delca tekočine v točki, recimo točki A, ostane konstantna. Ko prečka točko B, se hitrost delcev tekočine lahko spremeni. Vendar pa ob prihodu v točko B delci tekočine, ki sledijo za njimi, še naprej tečejo z enako hitrostjo kot delci tekočine, ki so jim sledili. Enako velja za prihod v točko C in tako naprej. Linija toka je krivulja, ki povezuje točke A, B in C.

Pretočna cev

V bistvu lahko vsako linijo toka narišemo skozi vsako točko v toku tekočine. Če upoštevamo ustaljen tok tekočine, več linij toka, ki potekajo pod določenim kotom na namišljeni površini (namišljena površina), tvori pretočno cev. Noben delček tekočine se ne seka, ampak so vedno vzporedni, pretočna cev pa bo podobna cevi, ki ima vedno enako obliko. Tekočina, ki vstopi na enem koncu cevi, bo izstopila iz cevi na drugem koncu.

Obremenitev

Pretok označuje volumen tekočine, ki teče skozi določen presek v določenem časovnem intervalu. Matematično ga lahko izrazimo na naslednji način:

Za boljše razumevanje si oglejmo primer. Predpostavimo, da tekočina teče skozi cev. Cevi so običajno valjaste in imajo določen prečni prerez. Cev ima tudi dolžino.

Ko tekočina teče v cevi do dolžine L, je volumen tekočine v cevi V = AL (V = volumen tekočine, A = površina prečnega prereza in L = dolžina cevi). Ker med tokom v cevi vzdolž dolžine L tekočina potuje določen časovni interval, lahko rečemo, da je velikost iztoka tekočine:

Ker je v = s/t = L/t —> L = vt, se zgornja enačba spremeni v:

Ko torej tekočina teče skozi cev z določeno površino prečnega prereza in dolžino v določenem časovnem intervalu, je velikost iztoka tekočine (Q) enaka površini prečnega prereza (A), pomnoženi s hitrostjo pretoka tekočine (v).

Enačba kontinuitete

Razmislite o pretoku tekočine v cevi z različnimi premeri, kot je prikazano na spodnji sliki.

Ta slika prikazuje pretok tekočine od leve proti desni (tekočina teče iz cevi z velikim premerom v cev z majhnim premerom). Črtkane črte so linije toka.

Opis slike: A ₁ = površina prečnega prereza cevi velikega premera, A ₂ = površina prečnega prereza cevi majhnega premera, v ₁ = hitrost pretoka tekočine v odseku cevi velikega premera, v ₂ = hitrost pretoka tekočine v odseku cevi majhnega premera, L = razdalja, ki jo prepotuje tekočina.

V uvodu v dinamiko tekočin je bilo pojasnjeno, da v dinamiki tekočin obravnavamo tok tekočin, ki so nestisljive, neviskozne, neturbulentne in ustaljene. Pri ustaljenem toku je hitrost delcev tekočine v točki enaka hitrosti drugih delcev tekočine, ki prehajajo skozi to točko. Tokovi tekočine se tudi ne sekajo (linije toka so vzporedne). Zato mora biti masa tekočine, ki vstopa v en konec cevi, enaka masi tekočine, ki izstopa iz drugega konca. Če tekočina z določeno maso vstopi v cev z velikim premerom, bo tekočina izstopila iz cevi z majhnim premerom s konstantno maso.

Zdaj pa si oglejte zgornjo sliko cevi. Poglejte del cevi z večjim premerom in del cevi z manjšim premerom.

V določenem časovnem intervalu skozi odsek cevi z velikim premerom (A) steče določena količina tekočine.₁) do L₁ (L₁ = v₁ t). Prostornina tekočine, ki teče, je V₁ =A₁ L₁ =A₁ v₁ t. V istem časovnem intervalu skozi del cevi z manjšim premerom (A) steče druga količina tekočine.₂) do L₂ (L₂ = v₂ t). Prostornina tekočine, ki teče, je V₂ =A₂ L₂ =A₂ v₂ t.

Enačba kontinuitete za nestisljive tekočine (nestisljiv)

Najprej si poglejmo primer nestisljive tekočine. V nestisljivi tekočini je gostota oziroma masa tekočine vedno enaka na vsaki točki, skozi katero teče. Masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A1 ₍ največji premer cevi) v določenem časovnem intervalu, je:

Podobno je masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A ₂ (majhen premer cevi) v določenem časovnem intervalu, enaka:

Glede na to, da je pri ustaljenem toku masa vstopajoče tekočine enaka masi izstopajoče tekočine, potem:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (gostota tekočine in časovni interval sta enaka, zato se izničita)

A1 proti ₁ = _A2 proti _2​

Torej, v nestisljivih tekočinah velja enačba kontinuitete:

A1 _v1 = _A2 v ₂ — Enačba ₁

Informacije:

A ₁ = površina prečnega prereza 1, A ₂ = površina prečnega prereza 2, v ₁ = hitrost pretoka tekočine v prečnem prerezu 1, v ₂ = hitrost pretoka tekočine v prečnem prerezu 2, A v = prostorninski pretok V/t oz. izpust

Enačba 1 kaže, da je prostorninski pretok, znan tudi kot izpust, vedno enak na vsaki točki vzdolž cevi ali pretočne cevi. Z zmanjševanjem preseka cevi se pretok tekočine povečuje; obratno, z zmanjševanjem preseka cevi se pretok tekočine zmanjšuje.

Ko delno zamašimo pipo, postane pretok vode hitrejši kot takrat, ko je pipa delno zaprta. To je zato, ker se prečni prerez pipe zmanjša, ko je pipa delno zaprta, kar poveča pretok vode (tekočina teče hitreje). Enako velja za cevi. Vendar je pomembno upoštevati, da izpust ali volumetrični pretok ostane enak na vseh točkah vzdolž toka vode, ne glede na to, ali je pipa delno zaprta ali ne. Spremeni se torej pretok tekočine.

Kaj pa pretok vode v reki? Globlji odseki reke imajo večji presek kot plitvejši odseki, zato je pretok vode v globljih odsekih nižji kot v plitvejših odsekih. Če vidite zelo miren rečni tok, to pomeni, da je reka globoka. Če pa reka nenadoma postane hitro tekoča, je ta odsek zagotovo plitev. Vendar pa je pretok vode vedno enak, ne glede na to, ali je v globokih ali mirnih odsekih reke.

Enačba kontinuitete za stisljive tekočine (stisljiv)

V primeru stisljivih tekočin gostota tekočine ni vedno enaka. Z drugimi besedami, gostota tekočine se pri stiskanju spreminja. Medtem ko je pri nestisljivih tekočinah gostota tekočine izločena iz enačbe, je v tem primeru gostota tekočine še vedno vključena. Glede na prej izpeljano enačbo izpeljimo enačbo za stisljive tekočine.

Glede na to, da je pri ustaljenem toku masa vstopajoče tekočine enaka masi izstopajoče tekočine, potem:

m1 = _m2​

ρA1v1t = ρA2v2t_​​​​_​​

Časovni interval pretoka tekočine je enak, zato ga je mogoče izločiti. Enačba se spremeni v:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → enačba 2

To je enačba za stisljivo tekočino. Edina razlika je v gostoti tekočine. Ko je tekočina stisnjena, se njena gostota spremeni. Nasprotno pa, ko je tekočina nestisljiva, njena gostota ostane konstantna in se lahko izniči.

Primer vprašanja 1:

Voda teče skozi cev s premerom 10 cm s hitrostjo 2 m/s. Kolikšen je pretok vode?

Razprava

Znano je, da:

Premer cevi = 10 cm (to je notranji premer cevi)

Polmer cevi (r) = 5 cm = 0,05 m

v vodi = 2 m/s

Vprašano: Debet

Odgovor:

Q = A v

Q = (πr² ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ^² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

Primer vprašanja 2:

Vodovodna cev s premerom 20 cm je priključena na drugo cev s premerom 10 cm. Če je pretok vode v cevi s premerom 20 cm = 4 m/s, kolikšen je pretok vode v cevi s premerom 10 cm?

Razprava

Znano je, da:

Premer 1 = 20 cm (r ₁ = 10 cm = 0,1 m)

v1 = ₄ m/s

Premer 2 = 10 cm (r ₂ = 5 cm = 0,05 m)

Vprašano: v ₁

Odgovor:

Q1 = _Q2​

A1 proti ₁ = _A2 proti _2​

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m³ ^/ s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

v2 = ¹⁶ m/s