Gradivo za enačbo kontinuitete
Počasi odprite pipo za vodo in opazujte pretok vode, ki priteka iz pipe. Ko se pipa neha vrteti, jo delno zaprite z roko. Zdaj primerjajte, kateri pretok vode je večji. Kdaj je delno zamašena ali odmašena? Če imate cev, ki se običajno uporablja za zalivanje rož, pustite, da voda teče skoznjo. Cev delno zamašite z roko ali prstom. Večji del cevi, ki je zamašen, hitreje bo voda odtekala. Nasprotno, če cev ni zamašena, bo voda tekla počasneje. Zakaj je temu tako? Da bi to razumeli, preučite enačbo kontinuitete.
Tokovnice in pretočne cevi
Najprej si poglejmo koncepta tokovnic in pretočnih cevi. Ta koncept je pomemben, ker vam bo pomagal razumeti enačbo kontinuitete.
Linija toka
Poglejte spodnjo sliko, modra črta je linija toka.
Pri ustaljenem toku hitrost vsakega delca tekočine v točki, recimo točki A, ostane konstantna. Ko prečka točko B, se hitrost delcev tekočine lahko spremeni. Vendar pa ob prihodu v točko B delci tekočine, ki sledijo za njimi, še naprej tečejo z enako hitrostjo kot delci tekočine, ki so jim sledili. Enako velja za prihod v točko C in tako naprej. Linija toka je krivulja, ki povezuje točke A, B in C.
Pretočna cev
V bistvu lahko vsako linijo toka narišemo skozi vsako točko v toku tekočine. Če upoštevamo ustaljen tok tekočine, več linij toka, ki potekajo pod določenim kotom na namišljeni površini (namišljena površina), tvori pretočno cev. Noben delček tekočine se ne seka, ampak so vedno vzporedni, pretočna cev pa bo podobna cevi, ki ima vedno enako obliko. Tekočina, ki vstopi na enem koncu cevi, bo izstopila iz cevi na drugem koncu.
Obremenitev
Pretok označuje volumen tekočine, ki teče skozi določen presek v določenem časovnem intervalu. Matematično ga lahko izrazimo na naslednji način:
Za boljše razumevanje si oglejmo primer. Predpostavimo, da tekočina teče skozi cev. Cevi so običajno valjaste in imajo določen prečni prerez. Cev ima tudi dolžino.
Ko tekočina teče v cevi do dolžine L, je volumen tekočine v cevi V = AL (V = volumen tekočine, A = površina prečnega prereza in L = dolžina cevi). Ker med tokom v cevi vzdolž dolžine L tekočina potuje določen časovni interval, lahko rečemo, da je velikost iztoka tekočine:
Ker je v = s/t = L/t —> L = vt, se zgornja enačba spremeni v:
Ko torej tekočina teče skozi cev z določeno površino prečnega prereza in dolžino v določenem časovnem intervalu, je velikost iztoka tekočine (Q) enaka površini prečnega prereza (A), pomnoženi s hitrostjo pretoka tekočine (v).
Enačba kontinuitete
Razmislite o pretoku tekočine v cevi z različnimi premeri, kot je prikazano na spodnji sliki.
Ta slika prikazuje pretok tekočine od leve proti desni (tekočina teče iz cevi z velikim premerom v cev z majhnim premerom). Črtkane črte so linije toka.
Napis slike: A1 = površina prečnega prereza cevi velikega premera, A2 = površina prečnega prereza cevi majhnega premera, v1 = hitrost pretoka tekočine v odseku cevi velikega premera, v2 = hitrost pretoka tekočine v odseku cevi majhnega premera, L = razdalja, ki jo prepotuje tekočina.
V uvodu v dinamiko tekočin je bilo pojasnjeno, da v dinamiki tekočin obravnavamo tok tekočin, ki so nestisljive, neviskozne, neturbulentne in ustaljene. Pri ustaljenem toku je hitrost delcev tekočine v točki enaka hitrosti drugih delcev tekočine, ki prehajajo skozi to točko. Tokovi tekočine se tudi ne sekajo (linije toka so vzporedne). Zato mora biti masa tekočine, ki vstopa v en konec cevi, enaka masi tekočine, ki izstopa iz drugega konca. Če tekočina z določeno maso vstopi v cev z velikim premerom, bo tekočina izstopila iz cevi z majhnim premerom s konstantno maso.
Zdaj pa si oglejte zgornjo sliko cevi. Poglejte del cevi z večjim premerom in del cevi z manjšim premerom.
V določenem časovnem intervalu skozi odsek cevi z velikim premerom (A) steče določena količina tekočine.1) do L1 (L1 = v1 t). Prostornina tekočine, ki teče, je V1 =A1 L1 =A1 v1 t. V istem časovnem intervalu skozi del cevi z manjšim premerom (A) steče druga količina tekočine.2) do L2 (L2 = v2 t). Prostornina tekočine, ki teče, je V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Enačba kontinuitete za nestisljive tekočine (nestisljiv)
Najprej si poglejmo primer nestisljive tekočine. V nestisljivi tekočini je gostota oziroma masa tekočine vedno enaka v vsaki točki, skozi katero teče. Masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A, je1 (velik premer cevi) v določenem časovnem intervalu je:
Podobno je masa tekočine, ki teče v cevi s prečnim prerezom A2 (majhen premer cevi) v določenem časovnem intervalu je:
Glede na to, da je pri ustaljenem toku masa vstopajoče tekočine enaka masi izstopajoče tekočine, potem:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (gostota tekočine in časovni interval sta enaka, zato se izničita)
A1 v1 =A2 v2
Torej, v nestisljivih tekočinah velja enačba kontinuitete:
A1 v1 =A2 v2 — Enačba 1
Informacije:
A1 = površina prečnega prereza 1, A2 = površina prečnega prereza 2, v1 = hitrost pretoka tekočine v prečnem prerezu 1, v2 = hitrost pretoka tekočine v prečnem prerezu 2, A v = prostorninski pretok V/t oz. izpust
Enačba 1 kaže, da je prostorninski pretok, znan tudi kot izpust, vedno enak na vsaki točki vzdolž cevi ali pretočne cevi. Z zmanjševanjem preseka cevi se pretok tekočine povečuje; obratno, z zmanjševanjem preseka cevi se pretok tekočine zmanjšuje.
Ko delno zamašimo pipo, postane pretok vode hitrejši kot takrat, ko je pipa delno zaprta. To je zato, ker se prečni prerez pipe zmanjša, ko je pipa delno zaprta, kar poveča pretok vode (tekočina teče hitreje). Enako velja za cevi. Vendar je pomembno upoštevati, da izpust ali volumetrični pretok ostane enak na vseh točkah vzdolž toka vode, ne glede na to, ali je pipa delno zaprta ali ne. Spremeni se torej pretok tekočine.
Kaj pa pretok vode v reki? Globlji odseki reke imajo večji presek kot plitvejši odseki, zato je pretok vode v globljih odsekih nižji kot v plitvejših odsekih. Če vidite zelo miren rečni tok, to pomeni, da je reka globoka. Če pa reka nenadoma postane hitro tekoča, je ta odsek zagotovo plitev. Vendar pa je pretok vode vedno enak, ne glede na to, ali je v globokih ali mirnih odsekih reke.
Enačba kontinuitete za stisljive tekočine (stisljiv)
V primeru stisljive tekočine (stisljiv), gostota tekočine ni vedno enaka. Z drugimi besedami, gostota tekočine se spremeni, ko jo stisnemo. Če iz enačbe za nestisljivo tekočino izločimo gostoto tekočine, potem v tem primeru gostota tekočine še vedno ostane vključena. Z uporabo prej izpeljane enačbe kot vodila izpeljimo enačbo za stisljivo tekočino.
Glede na to, da je pri ustaljenem toku masa vstopajoče tekočine enaka masi izstopajoče tekočine, potem:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Časovni interval pretoka tekočine je enak, zato ga je mogoče izločiti. Enačba se spremeni v:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Enačba 2
To je enačba za stisljivo tekočino. Edina razlika je v gostoti tekočine. Ko je tekočina stisnjena, se njena gostota spremeni. Nasprotno pa, ko je tekočina nestisljiva, njena gostota ostane konstantna in se lahko izniči.
Primer vprašanja 1:
Voda teče skozi cev s premerom 10 cm s hitrostjo 2 m/s. Kolikšen je pretok vode?
Razprava
Znano je, da:
Premer cevi = 10 cm (to je notranji premer cevi)
Polmer cevi (r) = 5 cm = 0,05 m
v vodi = 2 m/s
Vprašano: Obremenitev
Odgovor:
Q = A v
Q = (πr2) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2)(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / z
Primer vprašanja 2:
Vodovodna cev s premerom 20 cm je priključena na drugo cev s premerom 10 cm. Če je pretok vode v cevi s premerom 20 cm = 4 m/s, kolikšen je pretok vode v cevi s premerom 10 cm?
Razprava
Znano je, da:
Premer 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Premer 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Vprašano: v1
Odgovor:
Q1 = Q2
A1 v1 =A2 v2
(πr12) (4 m/s) = (πr22) (v2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
