Primeri vprašanj o enačbi tangente na krog
Uvod
Enačba tangente na krog je pomembna tema v analitični geometriji. Razumevanje, kako določiti enačbo tangente na krog, lahko pomaga pri reševanju najrazličnejših matematičnih problemov na srednji do napredni ravni. Ta članek bo obravnaval različne primere problemov in metode za določanje enačbe tangente na krog.
Definicija in osnovna teorija
Krog v koordinatni ravnini lahko običajno predstavimo s kvadratno enačbo:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
kjer je \((a, b)\) središčna točka kroga in \(r\) polmer kroga.
Tangenta krožnice iz zunanje točke je premica, ki se dotika krožnice v natanko eni točki. Če predpostavimo, da ima premica enačbo:
\[y = mx + c \]
potem lahko pogoj, da bo premica (y = mx + c) dotikalna kroga, izrazimo v naslednji obliki:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Kjer je \(m\) naklon tangente in \(c\) konstanta.
Formula enačbe tangentne premice
Za tangento na krog s središčem (0,0) in polmerom (r) je njena enačba v točki (x_1, y_1) na krogu:
\[x_1x + y_1y = r^2 \]
Če pa je središče kroga v točki \((a, b)\), potem je enačba:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Vzorčna vprašanja in razprave
Vprašanje 1
Krog s središčem v točki \(3, 4)\) in polmerom 5 enot. Določite enačbo tangente iz točke \((6, 8)\).
Razprava:
V tej nalogi imamo krog s središčem v točki \(3, 4)\ in polmerom 5, poiskati pa moramo enačbo tangente iz točke \((6, 8)\). Tukaj so koraki za rešitev:
1. Preverite, da točka \((6, 8)\) ni znotraj kroga: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Torej je točka na krožnici, zato jo lahko uporabimo za iskanje tangente.
2. Uporaba formule:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Poenostavite enačbo:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Razviti:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Enačba dobljene tangente je:
\[
3x + 4y = 50
\]
Vprašanje 2
Krog z enačbo \[x^2 + y^2 = 16\]. Določite enačbo tangente iz točke \((4, 0)\).
Razprava:
Krog s središčem v točki (0, 0) in polmerom 4 enote. Podana zunanja točka je (4, 0).
1. Uporaba formule za krog s središčem \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Zamenjava vrednosti:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Poenostavite:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Kar pomeni, da imamo tangentno enačbo:
\[
x = 4
\]
Vprašanje 3
Nariši premico, ki se dotika krožnice ((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9) v točki ((-1, 5)).
Razprava:
Krog s središčem v točki (-2, 3) in polmerom 3 enote. Dotikalna točka je (-1, 5).
1. Preverite, ali točka leži na krogu:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{ni na krogu}
\]
Torej lahko pride do napake pri vnosu vprašanja ali točke. Če je kot tangentna točka podana \((-2, 6)\):
2. Poenostavite:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Zamenjava:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Rezultat:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3. letnik - 9. letnik = 9. letnik
\]
\[
y = 6
Izkazalo se je, da točka in osebe:
y = 6 vsekakor velja.
Zaključek, preverjanje kombinacije, pomnjenje, 2 načina štetja.
veljavno/napačno..To Plus povzetek gar. td 2; oblika potrjena z (mreža). plis obseg vse gumbe pokritosti.
To je vse, hvala in upam, da bo to koristno za moje prijatelje.
Poleg tega se naučite koncepta krepitve razumevanja.
Tisti, ki prej niso razumeli, bodo, če bo Bog dal, imeli podrobnejše kritične kirurške korake.
\[
.dejstva(n+x)=qa.\barva{preprečuje}-fu.
"
