Primeri vprašanj in razprava o uporabi integralov pri izračunu površine ravne ravnine
Pri poučevanju matematike se integrali pogosto pojavljajo v računu. Ena najbolj znanih uporab integralov je izračun površine pod krivuljo ali ravnino. Ta članek bo obravnaval več primerov problemov in razpravljal o uporabi integralov za izračun površine ravnine.
Uvod v teorijo
Preden se lotimo primera problema, si poglejmo osnovni koncept izračuna površine pod krivuljo z uporabo integralov. Če imamo funkcijo f(x), ki je zvezna na intervalu [a, b], potem je površina pod krivuljo y = f(x) od x = a do x = b enaka:
\[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometrijsko to pomeni, da seštejemo površino zelo tankega pravokotnika od x = a do x = b.
Primer vprašanja 1
Soal
Izračunajte površino pod krivuljo y = x² v intervalu [1, 3].
Razprava
Za izračun površine uporabimo integral:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Začnemo z iskanjem primitivne funkcije \(x^2 \). Primitivna funkcija \(x^2 \) je \( \frac{x^3}{3} \). Integral nato postane:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Ne pozabite, da moramo antiderivacijo izračunati na limitah integrala:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \desno) – \left( \frac{1^3}{3} \desno) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \desno) – \left( \frac{1}{3} \desno) \]
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{26}{3} \]
Torej je površina pod krivuljo y = x² od x = 1 do x = 3:
\[ \frac{26}{3} \, \text{površinska enota} \]
Primer vprašanja 2
Soal
Določite površino območja, ki ga omejujeta krivulja y = x³ in premici x = 1 in x = 2.
Razprava
Za izračun površine uporabimo integral:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Kot običajno začnemo z iskanjem primitivne funkcije \(x^3 \). Primitivna funkcija \(x^3 \) je \( \frac{x^4}{4} \). Integral postane:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Izračunajte limite integrala:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \desno) – \left( \frac{1^4}{4} \desno) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \desno) – \left( \frac{1}{4} \desno) \]
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{15}{4} \]
Torej je površina pod krivuljo y = x³ od x = 1 do x = 2:
\[ \frac{15}{4} \, \text{površinska enota} \]
Primer vprašanja 3
Soal
Določite površino območja, ki ga omejujeta krivulji y = x² + 1 in y = 2x + 2 v intervalu od x = 0 do x = 1.
Razprava
Najprej moramo najti presečišča, da določimo limite integracije. Rešitev za \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Z uporabo kvadratne formule:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Vendar pa za zgornjo in spodnjo mejo med 0 in 1 ni treba uporabiti kvadratne rešitve, temveč le navadno integralno mejo od 0 do 1. Nato izračunamo površino zgornje krivulje y minus spodnjo krivuljo y v skladu s temi mejami:
\[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Poenostavitev funkcije:
\[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Nato poiščemo antiderivacijo:
Antiderivacija od \( (-x^2) \) je \( -\frac{x^3}{3} \),
Antiderivacija od \( (2x) \) je \( x^2 \),
Antiderivacija funkcije \( (1) \) je \( x \).
tako da,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Naslednja ocena:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \desno] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \desno] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \desno] – \left[ 0 \desno] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{5}{3} \]
Torej je površina območja, omejenega s krivuljama y = x² + 1 in y = 2x + 2 na intervalu [0, 1], enaka:
\[ \frac{5}{3} \, \text{površinska enota} \]
-
Iz zgornjih primerov lahko vidimo, kako se integrali lahko uporabijo za izračun površine pod krivuljo ali med dvema krivuljama. Z ustreznim razumevanjem osnovnih konceptov integralov in antiderivacijskih tehnik postane izračun teh površin zelo sistematičen in učinkovit. Upamo, da je ta članek povečal naše razumevanje uporabe integralov v resničnem svetu, zlasti na področju merjenja površine ravnih površin.
