Primeri vprašanj o Comptonovem učinku
Comptonov pojav je ključni pojav v kvantni fiziki. To odkritje ne le poglablja naše razumevanje dualnosti valov in delcev svetlobe, temveč tudi zagotavlja močan dokaz za kvantno teorijo sevanja. Ta članek bo pregledal Comptonov pojav, njegova osnovna načela in predstavil nekaj primerov problemov in rešitev za uporabo tega koncepta.
Razumevanje Comptonovega učinka
Comptonov učinek, poimenovan po njegovem odkritelju Arthurju H. Comptonu, je pojav, pri katerem foton (delec svetlobe) trči z elektronom in doživi spremembo valovne dolžine. Po trku foton prenese del svoje energije na elektron, zaradi česar se valovna dolžina fotona poveča (ali frekvenca zmanjša).
Ta sprememba valovne dolžine se imenuje Comptonov premik in jo lahko izrazimo z enačbo:
\[
Δλ = λ' – λ = hm_ec(1 – cos θ)
\]
Kje:
– \(Δλ) je sprememba valovne dolžine fotona,
– \(\lambda\) je začetna valovna dolžina fotona,
– \(\lambda'\) je valovna dolžina fotona po trku,
– \(h\) je Planckova konstanta (\(6.626 \kratnik 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) je masa elektrona (\(9.109 \kratnik 10^{-31} \, \text{kg}\)),
– \(c\) je hitrost svetlobe (\(3 \krat 10^8 \, \text{m/s}\)),
– \(\theta\) je kot sipanja fotona.
Vzorčna vprašanja in razprava
Vprašanje 1
Foton z valovno dolžino 0,1 nm zadene mirujoči elektron. Foton se nato razprši pod kotom 90° glede na svojo prvotno smer. Izračunajte valovno dolžino fotona po trku!
Razprava:
Znano je:
– Začetna valovna dolžina, (lambda = 0.1 nm = 0.1 x 10⁻⁹, m)
– Kot sipanja, \(\theta = 90^\circ \)
Uporaba Comptonove enačbe premika:
\[
Δ λ = h m ec (1 – cos θ)
\]
Nadomestite vrednosti Planckove konstante, mase elektrona in hitrosti svetlobe:
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – cos 90°)
\]
Ker je \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴
\]
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻⁴ + 22
\]
\[
\Delta \lambda = 2.43 \krat 10^{-12} \, \text{m} = 0.00243 \, \text{nm}
\]
Torej je valovna dolžina po trku:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.1 nm + 0.00243 nm = 0.10243 nm
\]
Vprašanje 2
Foton z valovno dolžino (λ = 0.05, nm) se razprši pod kotom (θ = 120°). Določite valovno dolžino fotona po razpršitvi.
Razprava:
Znano je:
– Začetna valovna dolžina, (lambda = 0.05 nm = 0.05 x 10⁻⁹, m)
– Kot sipanja, \(\theta = 120^\circ \)
Uporaba Comptonove enačbe premika:
\[
Δ λ = h m ec (1 – cos θ)
\]
Nadomestite vrednosti Planckove konstante, mase elektrona in hitrosti svetlobe:
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – cos 120°)
\]
Ker je \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – (-0.5))
\]
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 + 0.5)
\]
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻² + 1.5
\]
\[
Δ λ = 2.43 krat 10⁻¹², m krat 1.5 = 3.645 krat 10⁻¹², m = 0.003645 nm
\]
Torej je valovna dolžina po trku:
\[
λ = λ + Δ λ = 0.05 nm + 0.003645 nm = 0.053645 nm
\]
Vprašanje 3
Če je valovna dolžina fotona po sipanju 0.045 nm in je kot sipanja \(60^\circ\), določite valovno dolžino fotona pred sipanjem.
Razprava:
Znano je:
– Valovna dolžina po trku, \(\lambda' = 0.045 \, \text{nm} = 0.045 \kratnik 10^{-9} \, \text{m}\)
– Kot sipanja, \(\theta = 60^\circ \)
Uporaba Comptonove enačbe premika:
\[
Δ λ = h m ec (1 – cos θ)
\]
Nadomestite vrednosti Planckove konstante, mase elektrona in hitrosti svetlobe:
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – cos 60°)
\]
Ker je \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 9.109 x 10⁻⁴ + 3 x 10⁻⁴ (1 – 0.5)
\]
\[
Δ λ = 6.626 x 10⁻⁴ + 2.7327 x 10⁻² + 0.5
\]
\[
Δ λ = 2.43 krat 10⁻¹², m krat 0.5 = 1.215 krat 10⁻¹², m = 0.001215 nm
\]
Valovna dolžina po trku je znana:
\[
λ = λ + Δ λ
\]
Torej je valovna dolžina pred sipanjem:
\[
λ = λ' – Δ λ = 0.045 nm – 0.001215 nm = 0.043785 nm
\]
Zaključek
Razumevanje Comptonovega efekta nam omogoča boljše razumevanje interakcije med fotoni in elektroni v kontekstu kvantne fizike. Ta premik valovne dolžine zaradi sipanja dokazuje dualnost valov in delcev svetlobe ter krepi kvantno teorijo sevanja. Zgornji primeri so neposredne uporabe Comptonove enačbe, ki nam lahko pomagajo razumeti osnovni koncept in izračunati spremembe valovne dolžine v različnih pogojih.
