Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia

Zmena dĺžky

1. Tyč má dĺžku L a je ťahaná silou F. Veľkosť predĺženia je ∆L. Aká je veľkosť sily, ak zmena dĺžky je 4∆L?

Známe:

Sila 1 (F₁) = F

Zmena dĺžky 1 (∆L₁) = ∆L

Zmena dĺžky 2 (∆L₂) = 4 ΔL

Hľadaný: Sila 2 (F₂)

riešenie:

Rovnica Hookeov zákon

k = F / ΔL

k = konštanta pružnosti, F = sila F, ΔL = zmena dĺžky

k₁ = k₂

F₁ / ΔL₁ = F.₂ / ΔL₂

F / ΔL = F₂ / 4ΔL

F / 1 = F₂ / 4

F = F₂ / 4

F₂ = 4. poschodie

2. Tieto pružiny sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku nižšie. Pružina 1 má konštantnú tuhosť 200 N/m, pružina 2 má konštantných 200 N/m a pružina 3 má konštantných 200 N/m. Hmotnosť telesa je 100 gramov a zrýchlenie spôsobené gravitáciou je 10 m/s²Aká je zmena dĺžky the,en ekvivalentná jar.

Známe:

Objekty hmota (m) = 100 gramov = 0.1 kg

k₁ = k₂ = k₃ = 200 N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s²) = 1 kg m/s² = 1 Newtonov

Hľadaný: Zmena dĺžky ekvivalentná jar.

riešenie:

Určte ekvivalent konštanta pružiny:

Jar 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) sú zapojené paralelne. Ekvivalent konštanta pružiny:

k_p = k₂ +k₃ = 200 + 200 = 400 Nm^-1

Jar 1 (k₁) a pružina p (k_P) sú zapojené sériovo. Ekvivalentná pružinová konštanta:

1/k_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k_s = 400/3 Nm^-1

Ekvivalent konštanta pružiny je 400 / 3 Nm^-1

Určte zmenu dĺžky the,en ekvivalentná jar:

Rovnica Hookeovho zákona:

∆x = F / k = w / k

Zmena dĺžky the,en ekvivalentná jar:

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Konštanta jari

3. Aká je konštanta pružiny podľa údajov v tabuľke nižšie.

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

Konštanta pružiny:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Tri pružiny sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku nižšie. Konštanta pružiny k₁ = k₂ = 3 Nm^-1 a k₃ = 6 Nm^-1Aká je konštanta ekvivalentu pružiny?

Známe:

Konštanta pružiny 1 (k₁) = konštanta pružiny 2 (k₂) = 3 Nm^-1

Konštanta pružiny 3 (k₃) = 6 Nm^-1

Hľadaný: konštanta ekvivalentnej pružiny (k)

riešenie:

Jar 1 (k₁) a pružina 2 (k₂) sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

k_p = k₁ +k₂ = 3 + 3 = 6 Nm^-1

Pružina p (k_P) a pružina 3 (k₃ ) sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k_s = 1/k_p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k_s = 6/2 = 3 Nm^-1

Konštanta ekvivalentu pružiny = 3 Nm^-1.

5. Pružina s dĺžkou L, ťahaná tiažou w. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

riešenie:

k = F / ax

Konštanta pružiny:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

riešenie:

k = F / ax = w / ax = mg / ax

k = konštanta pružnosti, w = hmotnosť, m ​​= hmotnosť, g = gravitačné zrýchlenie, Δx = zmena dĺžky

Konštanta pružiny:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Ak k₁ = 4k, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny.

riešenie:

Dve pružiny sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

k_p = k + k = 2k

Dve pružiny sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny

1/k_s = 1/k_p + 1/k₁ = 1/2k + 1/4k = 2/4k + 1/4k = 3/4k

k_s = 4k/3

8. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / ΔL

Konštanta pružiny:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm^-1

9. Najmenšia konštanta je…

Riešenie

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

k = konštanta pružnosti, F = sila, Δx = zmena dĺžky

Konštanta elasticity:

k_A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k_B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k_C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k_D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k_E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Aká je najväčšia konštanta podľa údajov v tabuľke nižšie?

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

k_A = 7 / 0.035 = 200 Nm^-1

k_B = 8 / 0.025 = 320 Nm^-1

k_C = 6 / 0.020 = 300 Nm^-1

k_D = 9 / 0.045 = 200 Nm^-1

k_E = 10 / 0.033 = 303 Nm^-1

Najväčší konštantný krútiaci moment je 320 Nm^-1.

11. Graf nižšie znázorňuje súvislosť medzi zmenou sily (ΔF) a zväčšením dĺžky (Δx). Čo je graf znázorňujúci najmenšiu konštantu elasticityy.

Riešenie

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

Δx = zmena dĺžky, F = sila, k = konštanta pružnosti

Konštanta elasticity:

k_A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k_B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k_C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k_D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k_E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Ktorý grafh má najväčšie elastické konštanty?

riešenie:

Konštanta pružnosť :

k_A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k_B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k_C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k_D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k_E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Potenciálna energia jari:

13.Graf nižšie znázorňuje vzťah medzi silou a zmena v dĺžka pružiny. Aká je potenciálna energia pružiny podľa grafu nižšie?

Známe:

F = 40 N

x = 0.08 metra

Hľadáme : potenciálna energia pružiny

riešenie:

Konštanta pružiny:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Potenciálna energia jari:

PE = 1/2 kx² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joulov

14. K pružine je pripevnený blok s hmotnosťou 2 kg. Ak je zväčšenie dĺžky pružiny 5 cm a gravitačné zrýchlenie je 10 m/s², aká je potenciálna energia pružiny.

Známe:

Zväčšenie dĺžky (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hmotnosť bloku (m) = 2 kg

Hmotnosť bloku (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonov

Hľadaný: potenciálna energia jari

riešenie:

Konštanta elasticity:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciálna energia jari:

PE = ½ k Δx² = ½ (400)(0.05)² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 joulov

15. Zmena dĺžky pružiny je 5 cm pri ťahaní silou 20 N. Aká je potenciálna energia pružiny, ak sa zmena dĺžky pružiny 10 cm?

Známe:

Zmena dĺžky (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Sila (F) = 20 Newtonov

Hľadáme : Potenciálna energia jari

riešenie:

Konštanta jari:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciálna energia pružiny pri Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx² = ½ (400)(0.1)² = (200)(0.01)

PE = 2 joulov

Hmotnosť objektu

16. Štyri pružiny, kde konštanta každej pružiny je 800 N/m, sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku. Na pružine je pripevnený blok. Zmena dĺžky všetkých pružín je 5 cm. Aká je hmotnosť blokov?

Známe:

k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 800 Nm^-1

Δx = 5 cm = 0.05 m

Hľadaný: hmotnosť bloku (w)

riešenie:

Určte konštantu ekvivalentnej pružiny

Jar 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

k_p = k₁ +k₂ +k₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm^-1

Pružina p (k_P) a pružina 4 (k₄) sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k_s = 2400/4 = 600 Nm^-1

Konštanta ekvivalentnej pružiny je 600 Nm^-1

Určte hmotnosť predmetu:

Rovnica Hookeovho zákona:

F = k Δx alebo w = k Δx

Hmotnosť objektu:

w = (600 Nm^-1)(0.05 m) = 30 Newtonov

17. Štyri pružiny sú zapojené sériovo-paralelne. Konštanta každej pružiny je 1600 N/m. Na konci pružiny je pripevnený blok, ako je znázornené na obrázku. Predĺženie všetkých pružín je 5 cm. Aká je hmotnosť blokov?

Známe:

k₁ = k₂ = k₃ = k₄ = 1600 Nm^-1

Δx = 5 cm = 0.05 m

Hľadaný: hmotnosť bloku

riešenie:

Určte konštantu ekvivalentnej pružiny

Jar 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

k_P = k₁ +k₂ +k₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm^-1

Pružina p (k_P) a pružina 4 (k₄) sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k_s = 1/k_p + 1/k₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k_s = 4800/4 = 1200 Nm^-1

Konštanta ekvivalentnej pružiny je 1200 Nm^-1

Určte hmotnosť predmetu:

Rovnica Hookeovho zákona:

F = k Δx alebo w = k Δx

Hmotnosť objektu:

w = (1200 Nm^-1)(0.05 m) = 60 Newtonov

1. Čo je Hookeov zákon?
   • Odpoveď: Hookeov zákon opisuje vzťah medzi silou pôsobiacou na elastický objekt a výslednou deformáciou (zvyčajne predĺžením alebo stlačením). Konkrétne uvádza, že sila potrebná na stlačenie alebo natiahnutie pružiny je priamo úmerná vzdialenosti, o ktorú je natiahnutá alebo stlačená, za predpokladu, že nie je prekročená medza pružnosti.
2. Čo to znamená, keď povieme, že materiál dosiahol svoju medzu pružnosti?
   • Odpoveď: Keď materiál dosiahne svoju medzu pružnosti, znamená to, že sa po odstránení deformačnej sily už nevráti do pôvodného tvaru alebo veľkosti. Za týmto bodom sa materiál správa plasticky a môže sa trvalo deformovať.
3. Ako súvisí konštanta pružiny (k) s tuhosťou pružiny?
   • Odpoveď: Pružinová konštanta (k) je mierou tuhosti pružiny. Väčšia hodnota k označuje tuhšiu pružinu, čo znamená, že na jej deformáciu o danú hodnotu je potrebná väčšia sila, zatiaľ čo menšia hodnota k označuje poddajnejšiu alebo mäkšiu pružinu.
4. Aké sú jednotky pružinovej konštanty v sústave SI?
   • Odpoveď: V sústave SI sú jednotky pre tuhosť pružiny (k) newtony na meter (N/m).
5. Prečo sa správanie opísané Hookovým zákonom považuje za lineárne?
   • Odpoveď: Správanie sa považuje za lineárne, pretože vzťah medzi aplikovanou silou (F) a posunutím (x) je priamka, pričom vzťah je daný ako $F=kx$, kde k je konštanta pre daný materiál alebo pružinu.
6. Platí Hookeov zákon iba pre pružiny?
   • Odpoveď: Nie, Hookeov zákon platí pre akýkoľvek elastický materiál, ktorý sa lineárne deformuje s aplikovanou silou až do svojej medze pružnosti. Hoci pružiny sú bežným príkladom, aj iné materiály, ako sú gumové pásy, kovy pri malých deformáciách a niektoré biologické tkanivá, môžu vykazovať správanie opísané Hookeovým zákonom.
7. Čo sa stane, ak sa materiál natiahne nad svoju medzu pružnosti, ale nie natoľko, aby sa pretrhol?
   • Odpoveď: Ak sa materiál natiahne za svoju medzu pružnosti, ale nie do bodu pretrhnutia, dochádza k jeho plastickej deformácii. To znamená, že po odstránení sily sa materiál úplne nevráti do pôvodného tvaru a určitá trvalá deformácia zostane.
8. Aký je vzťah medzi pojmami napätia a deformácie a Hookovým zákonom?
   • Odpoveď: Napätie je sila pôsobiaca na jednotku plochy a deformácia je relatívna deformácia materiálu. Hookeov zákon v súvislosti s napätím a deformáciou hovorí, že napätie je priamo úmerné deformácii, pričom konštanta úmernosti je Youngov modul pružnosti materiálu. Toto je iný spôsob vyjadrenia lineárneho vzťahu medzi silou a deformáciou, ale pre sypké materiály, a nie len pre pružiny.
9. Čo je Youngov modul a ako súvisí s elasticitou?
   • Odpoveď: Youngov modul, zvyčajne reprezentovaný písmenom $E$, je mierou tuhosti materiálu z hľadiska ťahu alebo stlačenia. Opisuje schopnosť materiálu odolávať deformácii pri pôsobení sily. Vyšší Youngov modul označuje tuhší materiál a je definovaný ako pomer napätia k deformácii.
10. Dajú sa všetky materiály opísať Hookovým zákonom?

• Odpoveď: Nie, nie všetky materiály sa správajú podľa Hookeovho zákona. Mnohé materiály, najmä tie, ktoré sú nelineárne, viskoelastické alebo plastické, nevykazujú lineárny vzťah medzi napätím a deformáciou. Hookeov zákon je idealizovaný opis a je najpresnejší pre malé deformácie elastických materiálov.