Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia

Zmena dĺžky

1. Tyč má dĺžku L a je ťahaná silou F. Veľkosť predĺženia je ∆L. Aká je veľkosť sily, ak zmena dĺžky je 4∆L?

Známe:

Sila 1 (F1 ₎ = F

Zmena dĺžky 1 (∆L ₁ ) = ∆L

Zmena dĺžky 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

Hľadá sa: Sila 2 ( _F2 )

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona

k = F / ΔL

k = konštanta pružnosti, F = sila F, ΔL = zmena dĺžky

k1 = _k2

F1 _/ ∆L1 = _F2 / _∆L2

F / ΔL = F² _/ 4ΔL

F/1 = F2 _/ 4

F = F² _/ 4

F2 = _4F

2. Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 1 Tieto pružiny sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku nižšie. Pružina 1 má konštantnú tuhosť 200 N/m, pružina 2 má konštantných 200 N/m a pružina 3 má konštantných 200 N/m. Hmotnosť telesa je 100 gramov a zrýchlenie spôsobené gravitáciou je 10 m/s²Aká je zmena dĺžky the,en ekvivalentná jar.

Známe:

Hmotnosť objektu (m) = 100 gramov = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 ₌₂₀₀ N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Hľadaná hodnota: Zmena dĺžky ekvivalentnej pružiny.

riešenie:

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 2 Určte ekvivalent konštanta pružiny:

Pružina 2 (k2 ₎ a pružina 3 (k3 ₎ sú zapojené paralelne. Ekvivalentná konštanta pružiny:

kp ₌ k2 ₊ k3 = 200 + 200 = 400 Nm ₋¹

Pružina 1 (k1 ₎ a pružina p (kP ₎ sú zapojené sériovo. Ekvivalentná konštanta pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

Ekvivalentná tuhosť pružiny je 400/3 Nm ^-1

Určte zmenu dĺžky ekvivalentnej pružiny :

Rovnica Hookeovho zákona:

∆x = F / k = w / k

Zmena dĺžky ekvivalentnej pružiny :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Konštanta jari

3. Aká je konštanta pružiny podľa údajov v tabuľke nižšie.

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 3

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

Konštanta pružiny:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Tri pružiny sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku nižšie. Konštanty pružiny k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ a k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Aká je konštanta ekvivalentu pružiny?

Známe: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 4

Konštanta pružiny 1 (k1 ₎ = konštanta pružiny 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Konštanta pružiny 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Hľadaná: konštanta ekvivalentnej pružiny (k)

riešenie:

Pružina 1 (k1 ₎ a pružina 2 (k2 ₎ sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

kp ₌ k1 ₊ k2 = 3 + 3 = 6 Nm ₋¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 3 (k3 ₎ sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Konštanta ekvivalentu pružiny = 3 Nm ⁻¹.

5. Pružina s dĺžkou L, ťahaná tiažou w. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 5

riešenie:

k = F / Δx

Konštanta pružiny:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 6

riešenie:

k = F / Ax = w / Ax = mg / Ax

k = konštanta pružnosti, w = hmotnosť, m = hmotnosť, g = gravitačné zrýchlenie, Δx = zmena dĺžky

Konštanta pružiny:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Ak k ₁ = 4k, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny.

riešenie: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 7

Dve pružiny sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

kp ₌ k + k = 2k

Dve pružiny sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/2k + 1/4k = 2/4k + 1/4k = 3/4k

k ₌ 4k/3

8. Podľa údajov v tabuľke nižšie, aká je konštanta ekvivalentnej pružiny:

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 8

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / ΔL

Konštanta pružiny:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Najmenšia konštanta je…

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 9

Riešenie

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

k = konštanta pružnosti, F = sila, Δx = zmena dĺžky

Konštanta elasticity:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

kB = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/ _m

kC = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/ _m

kD = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/ _m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Aká je najväčšia konštanta podľa údajov v tabuľke nižšie?

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 10

riešenie:

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

kA = 7 / 0.035 = 200 _Nm^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm^-1

kD = 9 / 0.045 = 200 _Nm^-1

kE = 10 / 0.033 = 303 _Nm^-1

Najväčšia konštanta je 320 ^Nm⁻¹.

11. Graf nižšie znázorňuje súvislosť medzi zmenou sily (ΔF) a zväčšením dĺžky (Δx). Aká je najmenšia konštanta pružnosti v grafe?

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 11

Riešenie

Rovnica Hookeovho zákona:

k = F / Δx

Δx = zmena dĺžky, F = sila, k = konštanta pružnosti

Konštanta elasticity:

kA ₌ F / Δx = 1 / 8 = 0.125

kB = F / Ax = 8 / 3 = _2.7

kC = F / Δx = 6 / 6 = ₁

kD = F / Δx = 3 / 5 = _0.6

kE ₌ F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Ktorý graf h má najväčšie elastické konštanty?

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 12

riešenie:

Konštanta pružnosti :

kA ₌ F / Δx = 50 / 10 = 5

kB = F / Ax = 50 / 0.1 = ₅₀₀

kC = F / Δx = 5 / 0.1 = ₅₀

kD = F / Δx = 500 / 0.1 = ₅₀₀₀

kE ₌ F / Δx = 500 / 10 = 50

Potenciálna energia jari:

13. Graf nižšie znázorňuje vzťah medzi silou a zmenou dĺžky pružiny. Aká je potenciálna energia pružiny podľa grafu nižšie?

Známe: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 13

F = 40 N

x = 0.08 metra

Hľadá sa : Potenciálna energia jari

riešenie:

Konštanta pružiny:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Potenciálna energia jari:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500) (0.08) = (250) (0.08) = 20 joulov

14. K pružine je pripevnený blok s hmotnosťou 2 kg. Ak je zväčšenie dĺžky pružiny 5 cm a gravitačné zrýchlenie je 10 m/s² ^, aká je potenciálna energia pružiny?

Známe: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 14

Zväčšenie dĺžky (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hmotnosť bloku (m) = 2 kg

Hmotnosť bloku (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtonov

Hľadá sa: potenciálna energia jari

riešenie:

Konštanta elasticity:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciálna energia jari:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.05) ² = (200) (0.0025)

PE = 0.5 joulov

15. Zmena dĺžky pružiny je 5 cm pri ťahaní silou 20 N. Aká je potenciálna energia pružiny, ak sa zmena dĺžky pružiny 10 cm?

Známe:

Zmena dĺžky (Δx) = 5 cm = 0.05 metra

Sila (F) = 20 Newtonov

Hľadá sa : Potenciálna energia jari

riešenie:

Konštanta jari:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Potenciálna energia pružiny pri Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.1) ² = (200) (0.01)

PE = 2 joulov

Hmotnosť objektu

16. Štyri pružiny, kde konštanta každej pružiny je 800 N/m, sú zapojené sériovo-paralelne, ako je znázornené na obrázku. Na pružine je pripevnený blok. Zmena dĺžky všetkých pružín je 5 cm. Aká je hmotnosť blokov?

Známe: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 15

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 ₌₈₀₀ Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Hľadá sa: hmotnosť bloku (w)

riešenie:

Určte konštantu ekvivalentnej pružiny

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 16 Jar 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

kp ₌ k1 ₊ k2 + k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ₋¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 4 (k4 ₎ sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Konštanta ekvivalentnej pružiny je 600 Nm ^-1

Určte hmotnosť predmetu:

Rovnica Hookeovho zákona:

F = k Δx alebo w = k Δx

Hmotnosť objektu:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newtonov

17. Štyri pružiny sú zapojené sériovo-paralelne. Konštanta každej pružiny je 1600 N/m. Na konci pružiny je pripevnený blok, ako je znázornené na obrázku. Predĺženie všetkých pružín je 5 cm. Aká je hmotnosť blokov?

Známe: Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 17

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 ₌₁₆₀₀ Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Hľadaná hmotnosť bloku

riešenie:

Určte konštantu ekvivalentnej pružiny

Hookeov zákon a elasticita – problémy a riešenia 18 Jar 1 (k₁), pružina 2 (k₂) a pružina 3 (k₃) sú zapojené paralelne. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ₋¹

Pružina p (kP ₎ a pružina 4 (k4 ₎ sú zapojené sériovo. Konštanta ekvivalentnej pružiny:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Konštanta ekvivalentnej pružiny je 1200 Nm ^-1

Určte hmotnosť predmetu:

Rovnica Hookeovho zákona:

F = k Δx alebo w = k Δx

Hmotnosť objektu:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newtonov

Čo je Hookeov zákon?
- Odpoveď: Hookeov zákon opisuje vzťah medzi silou pôsobiacou na elastický objekt a výslednou deformáciou (zvyčajne predĺžením alebo stlačením). Konkrétne uvádza, že sila potrebná na stlačenie alebo natiahnutie pružiny je priamo úmerná vzdialenosti, o ktorú je natiahnutá alebo stlačená, za predpokladu, že nie je prekročená medza pružnosti.
Čo to znamená, keď povieme, že materiál dosiahol svoju medzu pružnosti?
- Odpoveď: Keď materiál dosiahne svoju medzu pružnosti, znamená to, že sa po odstránení deformačnej sily už nevráti do pôvodného tvaru alebo veľkosti. Za týmto bodom sa materiál správa plasticky a môže sa trvalo deformovať.
Ako súvisí konštanta pružiny (k) s tuhosťou pružiny?
- Odpoveď: Pružinová konštanta (k) je mierou tuhosti pružiny. Väčšia hodnota k označuje tuhšiu pružinu, čo znamená, že na jej deformáciu o danú hodnotu je potrebná väčšia sila, zatiaľ čo menšia hodnota k označuje poddajnejšiu alebo mäkšiu pružinu.
Aké sú jednotky pružinovej konštanty v sústave SI?
- Odpoveď: V sústave SI sú jednotky pre tuhosť pružiny (k) newtony na meter (N/m).
Prečo sa správanie opísané Hookovým zákonom považuje za lineárne?
- Odpoveď: Správanie sa považuje za lineárne, pretože vzťah medzi aplikovanou silou (F) a posunutím (x) je priamka, pričom vzťah je daný ako $F = k x$ , kde k je konštanta pre daný materiál alebo pružinu.
Platí Hookeov zákon iba pre pružiny?
- Odpoveď: Nie, Hookeov zákon platí pre akýkoľvek elastický materiál, ktorý sa lineárne deformuje s aplikovanou silou až do svojej medze pružnosti. Hoci pružiny sú bežným príkladom, aj iné materiály, ako sú gumové pásy, kovy pri malých deformáciách a niektoré biologické tkanivá, môžu vykazovať správanie opísané Hookeovým zákonom.
Čo sa stane, ak sa materiál natiahne nad svoju medzu pružnosti, ale nie natoľko, aby sa pretrhol?
- Odpoveď: Ak sa materiál natiahne za svoju medzu pružnosti, ale nie do bodu pretrhnutia, dochádza k jeho plastickej deformácii. To znamená, že po odstránení sily sa materiál úplne nevráti do pôvodného tvaru a určitá trvalá deformácia zostane.
Aký je vzťah medzi pojmami napätia a deformácie a Hookovým zákonom?
- Odpoveď: Napätie je sila pôsobiaca na jednotku plochy a deformácia je relatívna deformácia materiálu. Hookeov zákon v súvislosti s napätím a deformáciou hovorí, že napätie je priamo úmerné deformácii, pričom konštanta úmernosti je Youngov modul pružnosti materiálu. Toto je iný spôsob vyjadrenia lineárneho vzťahu medzi silou a deformáciou, ale pre sypké materiály, a nie len pre pružiny.
Čo je Youngov modul a ako súvisí s elasticitou?
- Odpoveď: Youngov modul, zvyčajne reprezentovaný písmenom $E$ , je mierou tuhosti materiálu z hľadiska ťahu alebo stlačenia. Opisuje schopnosť materiálu odolávať deformácii pri pôsobení sily. Vyšší Youngov modul označuje tuhší materiál a je definovaný ako pomer napätia k deformácii.
Dajú sa všetky materiály opísať Hookovým zákonom?

Odpoveď: Nie, nie všetky materiály sa správajú podľa Hookeovho zákona. Mnohé materiály, najmä tie, ktoré sú nelineárne, viskoelastické alebo plastické, nevykazujú lineárny vzťah medzi napätím a deformáciou. Hookeov zákon je idealizovaný opis a je najpresnejší pre malé deformácie elastických materiálov.