Kruhový pohyb – problémy a riešenia

1. Teleso s hmotnosťou 10 kg sa pohybuje po kruhu konštantnou rýchlosťou 4 m/s. Ak je polomer kruhu 0.5 metra, potom:

1) Frekvencia kruhov je 4/π Hz

2) Dostredivé zrýchlenie je 32 ms ^-2

3) Dostredivá sila je 320 N

4) Perióda je 4π s.

Ktoré sú pravdivé tvrdenia?

Známe:

Hmotnosť objektu (m) = 10 kg

lineárna rýchlosť (v) = 4 m/s

Polomer kruhu (r) = 0.5 metra

riešenie:

1) Frekvencia kruhu

v = 2π rf

4 = 2π (0.5) f

4 = πf

f = 4/π Hertz

2) Dostredivé zrýchlenie

a_s = v² / r = 4² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 m/s²

3) Dostredivá sila

F = ma_s = (10)(32) = 320 N

4) Obdobie

T = 1 : f = 1 : 4/π = 1 x π/4 = π/4

2. Objekt sa pohybuje po kružnici s polomerom 6 metrov. Ak objekt obehne 16 kruhov za 2 minúty, aká je lineárna rýchlosť objektu?

Známe:

Polomer (r) = 6 metra

Uhlová rýchlosť (ω) = 16 otáčok / 2 minúty = 8 otáčok / minúty = 8 otáčok / 60 sekúnd = 0.13 otáčky/sekundu.

Hľadá sa: Lineárna rýchlosť (v)?

riešenie:

v = r ω = (6 metrov)(0.13 otáčky/sekundu) = 0.8 metra/sekundu

V radiánoch:

1 otáčka = 2π radiánov = 2(3.14) = 6.28 radiánov

Uhlová rýchlosť = 8 (6.28) radiánov / 60 sekúnd = 50.24 radiánov / 60 sekúnd = 0.84 radiánov/sekundu

v = r ω = (6 metrov)(0.84 radiánov/sekundu) = 5.04 radiánov/sekundu.

3. Teleso s polomerom 20/π cm sa otočí 4-krát za 1 sekundu. Aká je lineárna rýchlosť okraja telesa?

Známe:

Polomer (r) = 20/π cm = 20 / 3.14 cm = 6.4 cm = 0.064 metra

Uhlová rýchlosť (ω) = 4 otáčky / 1 sekunda = 4 otáčky / sekunda.

1 otáčka = (2)(3.14) radiánov = 6.28 radiánov

Uhlová rýchlosť (ω) = (4)(6.28) radiánov/sekundu = 25.12 radiánov/sekundu

Hľadaný: Lineárna rýchlosť okraja objektu (v)

riešenie:

v = r ω = (0.064 metra)(25.12 radiánov/sekundu) = 1.6 metra/sekundu

4. Objekt pohybujúci sa v kruhu konštantnou rýchlosťou, ktorého lineárna rýchlosť závisí od…

Pozri tiež Dimenzionálna analýza – problémy a riešenia

riešenie:

Rovnica lineárnej rýchlosti kruhového pohybu:

v = lineárna rýchlosť

d = 2πr = obvod

T = perióda = čas potrebný na jednu úplnú otáčku.

5. Objekt sa pohybuje po kružnici s polomerom 50 metrov. Ak je uhlová rýchlosť objektu 120 ot./min, aký je časový interval a lineárna rýchlosť objektu?

Známe:

Polomer (r) = 50 cm = 0.5 metra

Uhlová rýchlosť (ω) = 120 ot/min = 120 otáčok / 1 minúta = 120 otáčok / 60 minút = 2 otáčky / 1 sekunda

1 otáčka = 2π radiánov

Uhlová rýchlosť (ω) = 2 (2π radiánov) / 1 sekunda = 4π radiánov/sekundu

Hľadaný: Časový interval (T) a lineárna rýchlosť (v)

riešenie:

Obdobie (T):

Perióda je čas potrebný na jednu úplnú otáčku.

Objekt sa otočí o dve otáčky za 1 sekundu = 1 otáčka za 0.5 sekundy. Perióda = 0.5 sekundy.

Lineárna rýchlosť (v):

v = r ω = (0.5 metra)(4π radiánov/sekundu) = 2π metrov/sekundu.

Aký je rozdiel medzi tangenciálnou rýchlosťou a uhlovou rýchlosťou pri kruhovom pohybe?
OdpoveďTangenciálna rýchlosť je lineárna rýchlosť bodu na rotujúcom objekte a udáva, ako rýchlo sa bod pohybuje po svojej kruhovej dráhe. Uhlová rýchlosť sa na druhej strane vzťahuje na to, ako rýchlo sa mení uhol pri otáčaní objektu. Tangenciálna rýchlosť sa zvyčajne meria v metroch za sekundu (m/s), zatiaľ čo uhlová rýchlosť sa zvyčajne meria v radiánoch za sekundu (rad/s).
Čo je to dostredivé zrýchlenie a ako súvisí s kruhovým pohybom?
OdpoveďDostredivé zrýchlenie je zrýchlenie, ktoré pociťuje objekt pohybujúci sa po kruhovej dráhe. Vždy smeruje do stredu kruhu a je zodpovedné za udržanie objektu na jeho kruhovej dráhe. Vzorec pre dostredivé zrýchlenie je $a_{c} = v ^{2 /r}$ kde $v$ je tangenciálna rýchlosť a $r$ je polomer kruhu.
Prečo má objekt v rovnomernom kruhovom pohybe zrýchlenie, aj keď je jeho rýchlosť konštantná?
OdpoveďZatiaľ čo veľkosť (alebo rozmer) rýchlosti zostáva pri rovnomernom kruhovom pohybe konštantná, smer rýchlosti sa mení. Keďže zrýchlenie je definované ako zmena rýchlosti a rýchlosť je vektorová veličina s veľkosťou aj smerom, akákoľvek zmena smeru predstavuje zrýchlenie. V tomto prípade ide o dostredivé zrýchlenie.
Ako súvisí sila potrebná na udržanie kruhového pohybu s hmotnosťou telesa a polomerom kruhu?
OdpoveďPožadovaná sila na udržanie kruhového pohybu je daná vzorcom pre dostredivú silu: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$ Ako je vidieť z rovnice, požadovaná sila je priamo úmerná hmotnosti telesa a nepriamo úmerná polomeru kružnice.
Prečo sa cítite tlačení von, keď auto prudko zatáča (napr. na kruhovom objazde)?
OdpoveďJe to spôsobené „fiktívnou“ odstredivou silou, čo je vnímaná sila pôsobiaca smerom von na teleso pohybujúce sa po kruhovej dráhe. Nie je to skutočná sila v zmysle tlačenia alebo ťahania, ale skôr účinok zotrvačnosti. Vaše telo sa chce pohybovať po priamke (prvý Newtonov zákon), ale steny auta alebo bezpečnostný pás vyvíjajú silu, ktorá vás udržiava v pohybe v kruhu. To vytvára pocit, že ste tlačení smerom von.
Akú úlohu hrá trenie pri kruhovom pohybe, najmä keď sa auto otáča na ceste?
OdpoveďTrenie medzi pneumatikami a vozovkou vytvára potrebnú dostredivú silu, ktorá umožňuje otáčanie auta. Bez dostatočného trenia by sa auto šmýkalo alebo šmýkalo a nedodržiavalo by svoju zamýšľanú kruhovú dráhu.
Ako sa zmení dostredivá sila, ak sa polomer kruhovej dráhy zníži na polovicu, ale rýchlosť zostane rovnaká?
OdpoveďAk sa polomer zníži na polovicu a rýchlosť zostane rovnaká, dostredivá sila sa zdvojnásobí, pretože dostredivá sila je nepriamo úmerná polomeru.
Prečo nemôžeme mať odstredivú silu bez dostredivej sily pri kruhovom pohybe?
OdpoveďOdstredivá sila je reaktívna alebo „fiktívna“ sila pozorovaná v rotujúcej vzťažnej sústave. Zdá sa, že tlačí objekty smerom von od stredu otáčania. Aby sa však objekt pohyboval po kruhovej dráhe, musí existovať skutočná sila pôsobiaca smerom do stredu, ktorou je dostredivá sila. Bez dostredivej sily by vôbec neexistoval kruhový pohyb, a preto by nebolo možné vnímať odstredivú silu.
Ako je gravitačná sila medzi Zemou a Mesiacom zodpovedná za kruhovú obežnú dráhu Mesiaca?
OdpoveďGravitačná sila medzi Zemou a Mesiacom pôsobí ako dostredivá sila, ktorá drží Mesiac na jeho obežnej dráhe okolo Zeme. Bez tejto gravitačnej príťažlivosti by sa Mesiac pohyboval po priamke namiesto svojej kruhovej (alebo presnejšie eliptickej) obežnej dráhy.
Ak sa šnúrka priviazaná k loptičke skráti na polovicu pri otáčaní loptičky v kruhu rovnakou rýchlosťou, ako sa zmení napätie šnúrky?

OdpoveďAk sa dĺžka struny (ktorá zodpovedá polomeru kruhovej dráhy) zníži na polovicu pri zachovaní konštantnej rýchlosti, požadovaná dostredivá sila (a teda aj napätie v strune) sa zdvojnásobí. Je to preto, že dostredivá sila (a v tomto prípade aj napätie) je nepriamo úmerná polomeru.