Ťažisko

1. Definícia ťažisko

Tuhé teleso sa skladá z mnohých častíc; preto na každú z týchto častíc pôsobí gravitačná sila. Inými slovami, každá častica má svoju hmotnosť. Ťažisko objektu je bod na objekte, kde sa predpokladá, že hmotnosť všetkých častí objektu je sústredená v tomto bode.

Ak je objekt homogénny (hustota každej časti objektu je rovnaká alebo objekt je zložený z podobného materiálu) a tvar objektu je symetrický (napríklad štvorec, obdĺžnik, kruh)

potom sa hmotnosť telesa zhoduje s ťažiskom telesa, ktoré sa nachádza v strede telesa. V prípade trojuholníkov sa ťažisko nachádza v 1/3 h (h = výška trojuholníka).

2. Rovnica ťažiska

Ak je tvar objektu symetrický a objekt je homogénny, potom sa ťažisko objektu zhoduje s ťažiskom objektu,

kde ťažisko a ťažisko sa nachádzajú v strede objektu. Naopak, ak je objekt homogénny, ale nie symetrický, potom možno polohu závažia objektu určiť pomocou nasledujúceho vzorca.

Súradnice hmotnosti objektu na osi x:

Súradnice hmotnosti objektu na osi y:

x = stred objektu na osi x, y = stred objektu na osi y, A = plocha. Ak je objekt v troch rozmeroch, okrem určenia súradníc hmotnosti objektu na osiach x a y sa určujú aj súradnice hmotnosti objektu na osi z. Plocha (A) sa nahrádza objemom (V).

Ukážka problému 1.

Určte súradnice ťažiska homogénneho telesa na obrázku zboku!

Riešenie:

Rozdeľte objekt na tri časti.

A ₁ = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100

A₂ = (20-10)(30-0) = (10)(30) = 300

A ₃ = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100

x ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

x ₂ = 1⁄2 (20-10) + 10 = 1⁄2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15

x ₃ = 1⁄2 (30-20) + 20 = 1⁄2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25

y ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

y ₂ = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15

y ₃ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

Súradnice hmotnosti objektu na osi x:

Súradnice hmotnosti objektu na osi y:

Súradnice hmotnosti objektu sú (15; 11)

Ukážka problému 2.

Určte súradnice hmotnosti telesa na obrázku!

Riešenie:

Rozdeľte objekt na dve časti, plocha 1 = štvorec, plocha 2 = trojuholník.

A ₁ = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12

2 ₌ 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18

x ₁ = 1⁄2 (5-1) + 1 = 1⁄2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3

x ₂ = 1⁄2 (6-0) = 1⁄2 (6) = 3

y ₁ = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5

y2 ₌ 1/3 (9-3) + 3 = 1/3 (6) + 3 = 2 + 3 = 5

Súradnice hmotnosti objektu na osi x:

Súradnice hmotnosti objektu na osi y:

Súradnica hmotnosti objektu je (3; 3.6)