Nazýva sa Poiseuillova rovnica, pretože ju objavil zosnulý Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Ako bolo vysvetlené, každú tekutinu možno považovať za ideálnu tekutinu. Ideálne tekutiny nemajú viskozitu. Ak si predstavíme ideálnu tekutinu prúdiacu v potrubí, každá časť tekutiny sa pohybuje rovnakou rýchlosťou (v). Na rozdiel od ideálnych kvapalín majú skutočné tekutiny alebo tekutiny, s ktorými sa stretávame v každodennom živote, viskozitu. Pretože majú viskozitu, napríklad pri prúdení v potrubí sa rýchlosť každej časti tekutiny mení. Vrstva tekutiny v strede sa pohybuje rýchlejšie (v je veľké), zatiaľ čo vrstva tekutiny pripojená k potrubiu sa nepohybuje, teda zostáva nehybná (v = 0). Takže od stredu k okraju potrubia sa každá časť tekutiny pohybuje rôznymi rýchlosťami. Aby ste to ľahšie pochopili, pozrite si obrázok nižšie…
Informácie:
R = polomer potrubia/rúry
v1 = prietok tekutiny v strede/osi trubice
v2 = prietok tekutiny vo vzdialenosti r2 od okraja trubice
v3 = prietok tekutiny vo vzdialenosti r3 od okraja trubice
v4 = prietok tekutiny vo vzdialenosti r4 od okraja trubice
r = vzdialenosť
Aby sa zabezpečila rovnaká prietoková rýchlosť každej tekutiny, musí byť na oboch koncoch akéhokoľvek potrubia alebo trubice, ktorou tekutina preteká, tlakový rozdiel. Pod pojmom tekutina tu myslíme skutočné tekutiny, ako je voda alebo olej pretekajúci potrubím, krv pretekajúca cievami atď. Okrem toho, že tlakové rozdiely pomáhajú hladkému prúdeniu skutočnej tekutiny, umožňujú tekutinám prúdiť v potrubiach v rôznych výškach.
Jean Louis Marie Poiseuille, bývalý francúzsky vedec, ktorý sa zaujímal o fyzikálne aspekty ľudského krvného obehu, vykonal výskum, aby zistil, ako faktory, ako sú tlakové rozdiely, plocha prierezu trubice a veľkosť trubice, ovplyvňujú rýchlosť skutočnej tekutiny. Výsledky, ktoré Jean Louis Marie Poiseuille získal, sú známe ako Poiseuilleova rovnica.
Poiseuilleovu rovnicu možno odvodiť pomocou predtým odvodenej rovnice koeficientu viskozity. Rovnicu viskozity používame, pretože prípad je podobný, hoci nie identický. Pri odvodzovaní rovnice koeficientu viskozity uvažujeme tok skutočnej vrstvy kvapaliny medzi dvoma rovnobežnými doskami a kvapalina sa môže pohybovať v dôsledku ťahovej sily (F). Rozdiel je v tom, že Poiseuilleova rovnica, ktorú odvodíme, v skutočnosti uvádza faktory, ktoré ovplyvňujú tok skutočnej kvapaliny v potrubí/rúre, a kvapalina prúdi v dôsledku tlakových rozdielov. Preto je potrebné rovnicu koeficientu viskozity opäť upraviť.
Tekutiny môžu prúdiť v dôsledku rozdielov v tlaku (kvapaliny prúdia z miest s vysokým tlakom na miesta s nízkym tlakom), preto nahradíme F za p1 - s2 (p1 > str.2).
Pri odvodzovaní rovnice pre koeficient viskozity uvažujeme tok reálnej vrstvy kvapaliny medzi dvoma rovnobežnými doskami. Každá časť kvapaliny zažíva pravidelnú zmenu rýchlosti o vzdialenosť l. V tomto prípade sa prietok kvapaliny pravidelne mení od osi trubice k okraju trubice. Kvapalina v osi trubice prúdi väčšou rýchlosťou (v). Čím ďalej k okraju, tým sa rýchlosť kvapaliny znižuje. Polomer trubice = vzdialenosť medzi osou trubice a okrajom trubice = R. Vzdialenosť medzi každou časťou kvapaliny a okrajom trubice = r. Keďže počet jednotlivých častí kvapaliny je veľmi veľký a ich vzdialenosť od okraja trubice sa tiež mení, jednoducho to zapíšeme takto:
v1 = rýchlosť kvapaliny vo vzdialenosti r1 od okraja trubice (r1 = R)
v2 = rýchlosť kvapaliny vo vzdialenosti r2 od okraja trubice (r2 < r1)
v3 = rýchlosť kvapaliny vo vzdialenosti r3 od okraja trubice (r3 < r2 < r1)
v4 = rýchlosť kvapaliny vo vzdialenosti r4 od okraja trubice (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = rýchlosť tekutiny vo vzdialenosti rn od okraja trubice (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Číslo každej časti tekutiny je veľmi veľké a tiež nevieme presne, koľko to v skutočnosti je, takže stačí ho zapísať symbolom n. Každá časť tekutiny pravidelne mení rýchlosť (v) od osi trubice (r1 = R) k okraju trubice (rn). Od osi trubice (r1 = R) k okraju trubice (rn) sa rýchlosť každej časti tekutiny zmenšuje (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Z vyššie uvedeného vysvetlenia môžeme získať predstavu, že od R do rn sa prietok tekutiny znižuje. Dĺžka potrubia = L. Získaná rovnica je:
Keďže uvažujeme rýchlosť (v) prúdenia tekutiny, rovnica 2 sa stáva:
Toto je rovnica pre prietok tekutiny vo vzdialenosti r od potrubia s polomerom R. Ak ste zmätení pri pohľade na obrázok vyššie... Upozorňujeme, že tekutina prúdi v potrubí alebo trubici, takže si musíme pozrieť objemový prietok tekutiny.
Vo vnútri trubice sa nachádza tekutina. Napríklad tekutinu rozdelíme na veľmi malé časti, kde každá časť má jednotkovú plochu dA, je vzdialená od osi trubice a má prietok v. Matematicky sa to dá zapísať takto:
dA1 = prierez kvapaliny 1, čo je vzdialenosť 1 od osi trubice
dA2 = prierez kvapaliny 2, čo je vzdialenosť 2 od osi trubice
dA3 = prierez kvapaliny 3, čo je vzdialenosť 3 od osi trubice
..................................
dA n = prierez kvapaliny n, čo je vzdialenosť dA n od osi trubice
Existuje toľko častí tekutiny, že je vhodné ich jednoducho zapísať symbolom n. Objemový prietok každej časti tekutiny možno matematicky zapísať takto:
Každý kúsok tekutiny je vo vzdialenosti r = 0 až r = R (R = polomer trubice). Inými slovami, vzdialenosť každého kúska tekutiny sa mení, ak sa meria od osi trubice. Ak si pohráme s kalkulom (integráciou), dostaneme rovnicu pre objemový prietok tekutiny v trubici:
Informácie:
Q = Debet
R = Vnútorný polomer potrubia alebo trubice
η = Koeficient viskozity
P1 - s2 = Rozdiel tlaku medzi dvoma koncami potrubia
L = dĺžka potrubia
p1-p2/L = Tlakový gradient (prúdenie kvapaliny vždy smeruje klesajúcom tlaku)
Na základe vyššie uvedenej Poiseuilleovej rovnice sa zdá, že objemový prietok tekutiny, známy aj ako výtok (Q), je úmerný štvrtej mocnine polomeru trubice (R).4), tlakový gradient (p2 - s1 /L) a je nepriamo úmerný viskozite. Ak sa zväčší polomer trubice (koeficient viskozity a tlakový gradient zostávajú konštantné), prietok kvapaliny sa zvýši 16-krát.
Základný koncept navrhovania potrubí, striekačiek atď. používa túto rovnicu. Prietok kvapaliny je úmerný R4 (R = polomer trubice). Polomer striekačky alebo polomer trubice je potrebné starostlivo vypočítať. Napríklad, ak zdvojnásobíme polomer ihly (r x 2), potom výtok kvapaliny, ktorá strieka = zvýši tlakovú silu palca 16-krát.
Poiseuilleova rovnica tiež ukazuje, že štvrtá mocnina polomeru (r4), je nepriamo úmerný tlakovému rozdielu medzi dvoma koncami potrubia. Napríklad, krv spočiatku prúdi v cieve s vnútorným polomerom r. Ak dôjde k zúženiu cievy (napríklad r/2 = vnútorný polomer cievy sa zmenší 2-krát), potom je potrebný 16-násobný tlakový rozdiel, aby krv prúdila ako predtým (aby výtok alebo objemový prietok krvi zostal konštantný).
