Vektory nie sú bežné čísla, takže na ne nemožno priamo použiť bežné násobenie. Musíme použiť vektorové násobenie. Existujú dva typy vektorového násobenia: bodové násobenie a krížové násobenie. Bodové násobenie sa nazýva aj skalárne násobenie, pretože vytvára skalárnu veličinu. Krížové násobenie sa nazýva aj vektorové násobenie, pretože vytvára vektorovú veličinu. Napríklad existujú dva vektory, a to A dan BSkalárne násobenie vektorov A dan B uvedené s AB KKeďže aréna používa bodkovú notáciu, toto násobenie sa nazýva skalárny súčinVektorové násobenie A dan B uvedené s A x BPretože používa notáciu x, potom sa toto násobenie nazýva krížové násobenie.
Napríklad, vzhľadom na vektor A dan B ako je znázornené na obrázku nižšie. Skvrnitý súčin medzi vektormi A dan B zapísané ako AB (A bod B).
Definovanie skalárneho súčinu vektorov A dan B (AB), zobrazený vektor A a vektory Podľa yktorý tvorí uhol θ. Ďalej nakreslíme projekciu vektora B smerom k smeru vektora ATáto projekcia je súčasťou vektora B ktorý je rovnobežný s vektorom A, čo má rovnakú veľkosť ako B vozík θ.
Definujeme teda AB ako veľký vektor A vynásobené vektorovými zložkami B stretávam sa s AMatematicky to môžeme zapísať takto:
AB vozík θ je bežné číslo (skalár). Preto sa skalárny súčin nazýva aj skalárny súčin. Čo ak skalárny súčin medzi vektormi A dan B premenil sa na BA predtým, ako definujeme BA, najprv nakreslíme projekciu vektora A k vektorom B (pozri obrázok nižšie).
Na základe tohto obrázka vieme definovať BA ako veľký vektor B vynásobené vektorovými zložkami A stretávam sa s BMatematicky to môžeme zapísať takto:
Výsledok skalárneho súčinu AB = AB vozík θ a výsledok skalárneho súčinu BA = BA vozík θPretože AB vozík θ = BA vozík θ, potom platí AB = BA
Niekoľko vecí o násobení bodkami, ktoré by ste mali vedieť:
1. Skalečný súčin spĺňa komutatívny zákon.
AB = BA
2. Skalečný súčin spĺňa distribučný zákon.
A. (B + C) = AB + AC
3. Ak sú vektory A a B na seba kolmé, potom skalárny súčin AB = 0
Keď vektor A dan B kolmé na seba, potom je uhol, ktorý zvierajú, 90oCos 90o = 0. Teda: AB = AB vozík sýkorka = AB cos 90o = 0. Na druhej strane, BA = BA vozík sýkorka = BA cos 90o = 0
4. Ak vektory A a vektor B smerujú rovnako , potom AB = AB cos 0 o = AB
Keď vektor A dan B v rovnakom smere, potom je uhol, ktorý zvierajú, 0oCos 0 = 1. Teda, AB = AB vozík sýkorka = AB cos 0o = ABNaopak BA = BA vozík sýkorka = BA cos 0o = BA
(Nemali by ste si mýliť s AB dan BAVeľký AB = veľký BANapríklad veľkosť vektora A = 2. veľkosť vektora B = 3. potom AB = 2.3 = 6; to je to isté ako BA = 3.2 = 6.
5. Ďalšia podmienka pre dva vektory v rovnakom smere, ak A = B, potom dostaneme AA = A² alebo BB = B²
6. Ak sú vektory A a B v opačných smeroch (keď sú dva vektory v opačných smeroch, uhol, ktorý zvierajú, je 180º) , potom výsledok násobenia AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Príklad problémov:
Vektor A má veľkosť 4 jednotky a vektor B má veľkosť 3 jednotky. Určte skalárny súčin dvoch vektorov, ak uhly, ktoré zvierajú tieto dva vektory, sú 60º, 90º a 180º.
Diskusia
Keďže AB = BA , môžeme si vybrať jednu z možností. Napríklad použijeme AB
AB = AB cos theta
Veľkosť A = 4 jednotky a veľkosť B = 3 jednotky.
