Moment inercie

Moment zotrvačnosti materiálu

Existujú dva objekty, z ktorých jeden má malú hmotnosť a druhý má väčšiu hmotnosť. Ktorý objekt sa ľahšie pohybuje, ak sa naň tlačí rovnakou silou? Fakt ukazuje, že objekty s menšou hmotnosťou sa pohybujú ľahšie ako objekty s väčšou hmotnosťou. Veľkosť hmotnosti objektu teda určuje veľkosť zrýchlenia objektu, ak naň pôsobí sila. Ak pri priamočiarom pohybe hmotnosť objektu určuje, či sa objekt ľahko alebo ťažko pohybuje (zrýchľuje), potom pri rotačnom pohybe moment zotrvačnosti objektu určuje, či sa objekt ľahko alebo ťažko pohybuje.

Častica
Uvažujme rotujúcu časticu. Na časticu s hmotnosťou m pôsobí sila F, takže sa častica otáča okolo osi otáčania O. Častica je vzdialená od osi otáčania r. Častica je na začiatku v pokoji (v = 0). Po pohybe silou F sa častica otáča určitou rýchlosťou, takže má tangenciálne zrýchlenie (tangenciálne zrýchlenie).
Vzťah medzi silou (F), hmotnosťou (m) a tangenciálnym zrýchlením (a tan) častice je vyjadrený rovnicou:
Častica sa otáča tak, že častica má uhlové zrýchlenie. Vzťah medzi tangenciálnym zrýchlením a uhlovým zrýchlením je vyjadrený rovnicou:
Nahraďte tangenciálne zrýchlenie (a tan) v rovnici 3 tangenciálnym zrýchlením (a tan) v rovnici 4.
Vynásobte ľavú a pravú stranu číslom r:
r F je moment sily a mr² je moment zotrvačnosti častice I). Rovnica 5 uvádza vzťah medzi momentom sily, momentom zotrvačnosti a uhlovým zrýchlením rotujúcej častice. Rovnica 5 je rovnicou druhého Newtonovho zákona pre rotujúcu časticu.
I je súčin hmotnosti častice (m) a druhej mocniny vzdialenosti častice od osi rotácie (r).²).
Informácie:
I = moment zotrvačnosti častice, m = hmotnosť častice, r = vzdialenosť medzi časticou a osou otáčania
Rovnica 6 sa používa na určenie momentu zotrvačnosti rotujúcej častice.
Aby ste lepšie pochopili prehľad týkajúci sa momentu zotrvačnosti častíc, prosím preštudujte si príklady problémov s momentom zotrvačnosti častíc.

Homogénne tuhé teleso
Tuhé teleso sa skladá z mnohých častíc rozmiestnených po telese. Moment tuhého telesa je súčtom všetkých momentov každej častice, ktorá tvorí tuhé teleso.
Na určenie momentu otáčania tuhého telesa sa pozoruje otáčanie, pretože poloha osi otáčania ovplyvňuje hodnotu momentu. Okrem závislosti od polohy osi otáčania závisí moment otáčania častice aj od hmotnosti častice (m) a druhej mocniny vzdialenosti častice od osi otáčania (r).²). Hmotnosť všetkých častíc, ktoré tvoria objekt, je rovnaká ako hmotnosť samotného objektu. Problém je v tom, že vzdialenosť každej častice od osi rotácie sa mení.
Uvažujme odvodenie vzorca pre tenký kruh s polomerom R a hmotnosťou M. Ak je os otáčania v strede kruhu, potom všetky častice tvoriace kruh sú vo vzdialenosti r od osi otáčania. I tenkého kruhu sa rovná súčtu momentov všetkých častíc tvoriacich kruh.
Každá častica, ktorá tvorí tenký prstenec, je vo vzdialenosti r od osi otáčania, takže r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Vzorec pre tenký krúžok:
I = MR²
Informácie:
I = moment zotrvačnosti tenkého krúžku, M = hmotnosť tenkého krúžku, R = polomer tenkého krúžku
Čo ak os otáčania nie je umiestnená v strede prstenca? Ak os otáčania nie je umiestnená v strede prstenca, vzorec pre tenký prstenec nie je možné odvodiť pomocou vyššie uvedenej metódy, pretože vzdialenosť každej častice od osi otáčania sa mení.

Vzorec pre homogénne tuhé teleso
Nasledujú vzorce pre niekoľko homogénnych tuhých telies.

Príklad problémov

1. Otázky k národnej skúške SMA/MA 2017

Venujte pozornosť nasledujúcej tabuľke!

Objekty P, Q a R sú spojené bezhmotnou tyčou. Veľkosť momentu zotrvačnosti systému okolo osi kolmej na rovinu prechádzajúcu osou objektu P je…

Diskusia

Je známe:

Otázka: Moment zotrvačnosti systému

Džaváb:

Moment zotrvačnosti telesa Q:

I _Q = mr² ⁼ (0,5)(10² ⁾ = (0,5)(100) = 50 kg ^m²

Moment zotrvačnosti telesa R:

I _R = mr² ⁼ (3)( ^6² ) = (3)(36) = 108 kg ^m²

Moment zotrvačnosti telesa P:

Os otáčania prechádza osou telesa P, takže r = 0.

Moment zotrvačnosti systému:

I = 50 kg m² ⁺ 108 kg ^m²

I = 158 kg ^m²