Príklady otázok a diskusia o aplikácii integrálov pri výpočte plochy roviny
Vo výučbe matematiky sa integrály často stretávajú v kalkule. Jednou z najznámejších aplikácií integrálov je výpočet plochy pod krivkou alebo rovinou. Tento článok sa bude zaoberať niekoľkými príkladmi problémov a rozoberie aplikáciu integrálov na výpočet plochy roviny.
Úvod do teórie
Predtým, ako prejdeme k príkladu úlohy, si zopakujeme základný koncept výpočtu plochy pod krivkou pomocou integrálov. Ak máme funkciu f(x), ktorá je spojitá na intervale [a, b], potom plocha pod krivkou y = f(x) od x = a do x = b je:
\[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometricky to znamená, že sčítavame plochu veľmi tenkého obdĺžnika od x = a do x = b.
Príklad otázky 1
Otázka
Vypočítajte plochu pod krivkou y = x² v intervale [1, 3].
Diskusia
Na výpočet plochy použijeme integrál:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \dx \]
Začneme nájdením primitívnej funkcie k \(x^2 \). Primitívna funkcia k \(x^2 \) je \( \frac{x^3}{3} \). Integrál sa potom stáva:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Pamätajte, že musíme vypočítať primitívnu funkciu v limitách integrálu:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Takže plocha pod krivkou y = x² od x = 1 do x = 3 je:
\[ \frac{26}{3} \, \text{jednotka plochy} \]
Príklad otázky 2
Otázka
Určte plochu oblasti ohraničenej krivkou y = x³ a priamkami x = 1 a x = 2.
Diskusia
Na výpočet plochy použijeme integrál:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \dx \]
Ako zvyčajne, začneme nájdením primitívnej funkcie k \(x^3 \). Primitívna funkcia k \(x^3 \) je \( \frac{x^4}{4} \). Integrál sa stáva:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Vyhodnoťte limity integrálu:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Takže plocha pod krivkou y = x³ od x = 1 do x = 2 je:
\[ \frac{15}{4} \, \text{jednotka plochy} \]
Príklad otázky 3
Otázka
Určte plochu oblasti ohraničenej krivkami y = x² + 1 a y = 2x + 2 v intervale x = 0 až x = 1.
Diskusia
Najprv musíme nájsť priesečníky, aby sme určili limity integrácie. Riešenie rovnice \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Použitie kvadratického vzorca:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Pre hornú a dolnú hranicu medzi 0 a 1 však nemusíme použiť kvadratické riešenie, stačí bežná integrálna hranica od 0 do 1. Ďalej vypočítame plochu hornej krivky y mínus dolná krivka y podľa týchto hraníc:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Zjednodušenie funkcie:
\[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Ďalej nájdeme primitívnu funkciu:
Primitívna funkcia k \( (-x^2) \) je \( -\frac{x^3}{3} \),
Primitívna funkcia funkcie \( (2x) \) je \( x^2 \),
Primitívna funkcia funkcie \( (1) \) je \( x \).
Takže,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Ďalšie hodnotenie:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Takže plocha oblasti ohraničenej krivkami y = x² + 1 a y = 2x + 2 na intervale [0, 1] je:
\[ \frac{5}{3} \, \text{jednotka plochy} \]
-
Z vyššie uvedených príkladov vidíme, ako možno integrály použiť na výpočet plochy pod krivkou alebo medzi dvoma krivkami. So správnym pochopením základných pojmov integrálov a primitívnych funkcií sa výpočet týchto plôch stáva veľmi systematickým a efektívnym. Dúfame, že tento článok prehĺbil naše chápanie aplikácie integrálov v reálnom svete, najmä v oblasti merania plochy rovinných plôch.
