Príklady otázok o kružniciach a dotyčniciach
Kružnice sú dôležitou témou v maticovej geometrii, kde sa demonštrujú hlboké koncepty o vzdialenosti, uhloch a tvare. Jedným z konceptov, o ktorých sa v tejto téme často diskutuje, je dotyčnica kružnice. V tomto článku si rozoberieme niekoľko príkladov problémov týkajúcich sa kružníc a dotyčníc.
Základné pochopenie kružníc a dotyčníc
Kruh
Kruh je geometrický útvar tvorený množinou všetkých bodov v rovine, ktoré sú od daného bodu nazývaného stred kružnice v pevnej vzdialenosti. Táto pevná vzdialenosť sa nazýva polomer kružnice.
Tangenta
Dotyčnica kružnice je priamka, ktorá sa dotýka kružnice presne v jednom bode. Tento bod sa nazýva bod dotyku. Dotyčnice majú niekoľko dôležitých vlastností, vrátane:
– Dotyčnica je vždy kolmá na polomer kružnice v bode dotyku.
– Dĺžka dotyčnice z bodu mimo kružnice ku kružnici je rovnaká, ak z tohto bodu vedieme dve dotyčnice.
Vzorové otázky a diskusie
Nižšie uvedieme niekoľko príkladových otázok, ktoré podrobne rozoberajú koncept kružníc a dotyčníc.
Príklad otázky 1: Nájdenie dĺžky dotyčnice
Otázka:
Daná je kružnica so stredom \(O\) a polomerom \(r = 6 \, \text{cm}\). Z bodu \(P\) mimo kružnice, ktorý je vzdialený 10 cm od stredu kružnice, sú ku kružnici nakreslené dve dotyčnice \(PA\) a \(PB\). Vypočítajte dĺžku dotyčnice \(PA\).
Diskusia:
V tejto úlohe môžeme použiť Pytagorovu vetu. Nakreslite trojuholník \(\trojuholník OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (vzdialenosť od vonkajšieho bodu k stredu kruhu)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (polomer kružnice)
– \(PA\) je dotyčnica, ktorú treba nájsť
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Dĺžka dotyčnice \(PA\) je teda 8 cm.
Príklad otázky 2: Hľadanie bodu dotyku
Otázka:
Daná je kružnica s rovnicou \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) a priamka \(y = 2x + 1\). Určte bod dotyku medzi kružnicou a priamkou.
Diskusia:
Najprv určíme stred a polomer kružnice:
– Stred \(O(3, 4)\)
– Polomer \(r = \sqrt{25} = 5\)
Aby sme našli bod dotyku, predpokladajme, že bod dotyku je \(T(x_1, y_1)\), ktorý tiež leží na priamke \(y = 2x + 1\). Potom:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) musí tiež spĺňať rovnicu kružnice:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Dosadíme \(y_1 = 2x_1 + 1\) do kruhovej rovnice:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Potrebujeme vypočítať dva štvorce.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Spojte oba výsledky:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Odčítajte 25 od oboch strán:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Vyriešte kvadratickú rovnicu:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \krát 5 \krát 7}}{2 \krát 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \krát 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm + 0.4\sqrt{29}
\]
Vypočítajte hodnotu \(y_1\):
Čo spĺňa y = 2x + 1:
– Ak \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), potom \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ak \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), potom \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Hodnotenie:
Takže dostaneme dva priesečníky rovnice kružnice s touto priamkou.
Príklad otázky 3: Určenie rovnice dotyčnice
Otázka:
Daná je kružnica s rovnicou \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Určte rovnicu dotyčnice kružnice, ktorá prechádza bodom \((6, 7)\).
Diskusia:
Dotyčnicu ku kružnici so stredom (h, k) a polomerom (r) zo známeho vonkajšieho bodu možno nájsť pomocou rovnice:
Dotyčnica prechádza vonkajším bodom \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Dosaďte vonkajší bod \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Rovnica dotyčnice je:
\[
x + y = 9
\]
Takže variácia rovnice priamky prechádzajúcej bodom kružnice je veľmi veľká a môže sa meniť v závislosti od výsledku alebo vizuálneho znázornenia.
Záver
Diskusia o kružniciach a dotyčniciach pokrýva niekoľko základných aspektov matematiky, od aplikácie základných vzorcov, ako je Pytagorova veta, až po riešenie kvadratických rovníc. Prostredníctvom týchto príkladov si môžeme lepšie pochopiť, ako tieto koncepty aplikovať v trochu zložitejších situáciách. Dúfame, že tento článok pomohol poskytnúť jasný obraz o tom, ako pristupovať k problémom s kružnicami a dotyčnicami a ako ich riešiť.
