Príklady otázok a diskusia o korelácii produktových momentov
Korelácia súčinu momentu, známa aj ako Pearsonova korelácia, je štatistická metóda používaná na meranie sily a smeru lineárneho vzťahu medzi dvoma premennými. Táto metóda je užitočná v rôznych oblastiach, od akademického výskumu a obchodnej analýzy až po hodnotenie experimentov v prírodných vedách. Tento článok sa bude zaoberať niekoľkými príkladmi problémov a ich riešeniami na výpočet korelácie súčinu momentu.
Pendahuluan
Predtým, ako sa pustíme do príkladových otázok, je dobré pochopiť základný koncept korelácie produktových momentov. Všeobecný vzorec používaný na výpočet Pearsonovho korelačného koeficientu (r) je:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \(n \) je počet párov údajov.
– \( \sum{XY} \) je súčet súčinov \( X \) a \( Y \).
– \( \sum{X} \) je súčet premenných \( X \).
– \( \sum{Y} \) je súčet premenných \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) je súčet druhých mocnín premennej \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) je súčet druhých mocnín premennej \( Y \).
Pearsonov korelačný koeficient (\(r \)) je vždy medzi -1 a 1. Pozitívna korelácia naznačuje, že obe premenné sa pohybujú rovnakým smerom, zatiaľ čo negatívna korelácia naznačuje, že keď jedna premenná rastie, druhá klesá. Ak \(r = 0 \), potom medzi týmito dvoma premennými neexistuje lineárna korelácia.
Príklad otázky 1
dátum
Nasledujú údaje o skóre z matematiky a fyziky pre 5 študentov:
| Študent | Matematika (X) | Fyzika (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Kroky na riešenie
1. Výpočet dôležitých komponentov:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Do vzorca zadajte:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Výpočet výsledkov:
– Čitateľ: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Menovateľ:
– \( n\súčet{X} – (\súčet{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\súčet{Y^2} – (\súčet{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \krát 1276} \približne \sqrt{976856} \približne 989.36 \)
\[r = \frac{626}{989.36} \približne 0.633 \]
Pearsonov korelačný koeficient medzi výsledkami testov z matematiky a fyziky je teda 0.633, čo naznačuje, že medzi týmito dvoma premennými existuje mierna pozitívna korelácia.
Príklad otázky 2
dátum
Nasledujú údaje o hodnote predaja a výdavkoch na reklamu za 6 mesiacov v spoločnosti:
| Mesiac | Reklama (X) | Predaj (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Kroky na riešenie
1. Výpočet dôležitých komponentov:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Do vzorca zadajte:
\[ r = \frac{n(\suma{XY}) – (\suma{X})(\suma{Y})}{\sqrt{[n\suma{X^2} – (\suma{X})^2][n\suma{Y^2} – (\suma{Y})^2]}} \]
\[r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Výpočet výsledkov:
– Čitateľ: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Menovateľ:
– \( n\súčet{X} – (\súčet{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\súčet{Y^2} – (\súčet{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \krát 4580000} \približne \sqrt{9343200000000} \približne 3056246.20 \)
\[r = \frac{3000000}{3056246.20} \približne 0.981 \]
Pearsonov korelačný koeficient medzi výdavkami na reklamu a hodnotou predaja je teda 0.981, čo naznačuje, že medzi týmito dvoma premennými existuje veľmi silná pozitívna korelácia.
Záver
Pearsonov korelačný koeficient (r) je veľmi užitočný nástroj na pochopenie lineárneho vzťahu medzi dvoma premennými. V uvedených príkladoch vidíme, ako vypočítať hodnotu r a interpretovať ju. Vyššia korelácia (bližšie k 1 alebo -1) naznačuje silnejší vzťah, zatiaľ čo nižšia korelácia (bližšie k 0) naznačuje slabší vzťah. Je dôležité poznamenať, že korelácia neznamená kauzalitu; jednoducho naznačuje, že medzi týmito dvoma premennými existuje vzťah.
